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2017 年度 実施状況報告書

ランダムシュレーディンガー作用素の準位統計

研究課題

研究課題/領域番号 26400145
研究機関学習院大学

研究代表者

中野 史彦  学習院大学, 理学部, 教授 (10291246)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2019-03-31
キーワードランダムシュレーディンガー作用素 / ガウシアンベータアンサンブル
研究実績の概要

(1)ガウシアンベータアンサンブルの準位統計(Kahn Duy Trinh 氏との共同研究)
サインベータ過程について、ベータが0に近づいたときにポアソン過程に収束することは、Allez-Dumazによって示されている。そこで、有限サイズのガウシアンベータアンサンブルにおいて、システムサイズ n と逆温度βが n β が一定という条件を満たしながらシステムサイズを無限大にしたときに、対応する固有値をスケーリングしたものがポアソン過程に収束することを示した。また、その強度についてリアプノフ指数との関係を調べ、新しい関係式を見出した。これまでの類似の問題とは異なり、平行移動不変性が成り立たないので、ポアソン過程の強度を具体的に求めることに困難さがある。ここでは、ベータアンサンブルの確率分布の滑らかさを具体的に利用することにより、この問題を克服した。

(2)固有関数の漸近形
サイズLのランダムポテンシャルを持つ1次元シュレーディンガー作用素で、そのカップリング定数がLのー1/2乗に比例して減衰するものを考えた。これはクリティカルモデルと呼ばれ、局在系と非局在系への転移を記述することが期待されている。固有値の準位統計問題は研究代表者により解決済み。そこで、各々の固有値に対応する、規格化された、粒子の存在確率密度を表す測度のスケール極限を考え、それが2 - sided Brownian motion を指数に持つマルチンゲールを用いて表されることを示した。離散モデルについてはRifkind-Virag による最近の結果があり、それを連続モデルに拡張したものである。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初の目的は
(1)減衰するポテンシャル、または減衰カップリング定数を持つ1次元シュレーディンガー作用素について、そのバルクでの準位統計を調べる
(2)同じ作用素において、エッジでの準位統計を調べる
(3)関連する問題について考える
ことであった。
このうち、(1)については解決済み。(3)については、ガウシアンΒアンサンブルについての結果を得ている。

今後の研究の推進方策

次の問題について考える。

(1)2017年度の研究(2)固有関数の漸近形をさらに推し進める
(2)2017年度の研究(1)ガウシアンベータアンサンブルの準位統計について、さらにn \beta = 定数 ではない場合についても調べる
(3)エッジでの準位統計を調べる

次年度使用額が生じた理由

(1)当該年度は勤務校において学科主任を務めたために研究活動へのエフォトが減少したため
(2)招聘した外国人研究者が実際に使用した旅費が当初の想定金額を下回ったため

  • 研究成果

    (10件)

すべて 2018 2017

すべて 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 4件、 オープンアクセス 4件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 4件、 招待講演 4件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [雑誌論文] A remark on conditions that a diffusion in the natural scale is a martingale2018

    • 著者名/発表者名
      Yuuki Shimizu and Fumihiko Nakano
    • 雑誌名

      Osaka Journal of Mathematics

      巻: 55 ページ: 385-391

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Poisson statistics for 1d Schr\"odinger operators with random decaying potentials2017

    • 著者名/発表者名
      Shinnichi Kotani and Fumihiko Nakano
    • 雑誌名

      Electronic Journal of Probability

      巻: 22 ページ: 1-31

    • DOI

      10.1214/17

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] On the asymptotic behavior of Bessel-like diffusions2017

    • 著者名/発表者名
      Yuuki Shimizu and Fumihiko Nakano
    • 雑誌名

      Tsukuba Journal of Mathematics

      巻: 41 ページ: 81-90

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Fluctuation of density of states for 1d Schr\"odinger operators2017

    • 著者名/発表者名
      Fumihiko Nakano
    • 雑誌名

      Journal of Statistical Physics

      巻: 166 ページ: 1393-1404

    • DOI

      10.1007/s10955-017-1728-8

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] Generalized carries process and riffle shuffles2018

    • 著者名/発表者名
      Fumihiko Nakano
    • 学会等名
      Algebraic and Enumerative Combinatorics in Okayama.
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Remarks on generalized carries process and riffle shuffle2018

    • 著者名/発表者名
      Fumihiko Nakano
    • 学会等名
      九州確率論拡大セミナー
  • [学会発表] Remarks on generalized carries process2018

    • 著者名/発表者名
      Fumihiko Nakano
    • 学会等名
      AIMaP 結晶構造と準結晶の数理
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Some remarks on a generalized caries process2017

    • 著者名/発表者名
      Fumihiko Nakano
    • 学会等名
      Workshop“Number Theoretical Aspects of Tilings and Dynamics”
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Level statistics for 1 dimensional Schroedinger Operators2017

    • 著者名/発表者名
      Fumihiko Nakano
    • 学会等名
      RIMS スペクトル散乱シンポジウム
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会・シンポジウム開催] タイリングと準周期系の数理2017

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公開日: 2018-12-17  

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