| 研究課題/領域番号 |
26400147
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
坂川 博宣 慶應義塾大学, 理工学部, 准教授 (60348810)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 界面モデル / 相転移 / Gauss場 / Gibbs測度 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，複数の相を分離する境界面，いわゆる界面の確率モデルに関連したいくつかの長距離相関を持つ確率場を取り上げ，その漸近挙動に関する研究を通して相分離界面に関する物理現象の数学的な解析を目指すことであったが，対象とするモデルのひとつにΔφ界面モデルが挙げられる．このモデルは物理的には系のエネルギーが雑にいって界面の曲率から定まり，細胞膜のモデルに対応することが知られている．
2015年度は1次元の場合にHryniv-Velenik(2009)によって証明されたΔφモデルに対する関数型中心極限定理を応用することで，一般の相互作用ポテンシャルを持つ場合において, 境界から離れた領域で場が常に正となる確率が一様に正であることを証明した．2014年度には，3次元以下で相互作用ポテンシャルが2次関数で与えられ場がGauss的な場合の部分的な評価を得ていたが, それを少し改良したものとあわせて論文にまとめ投稿し(RIMS Kokyuroku Bessatsu)，掲載受理となった．この問題では4次元以上では，正となる領域の大きさを無限大にする極限を取った時に，次元に応じた速さで対応する確率が0に収束することが坂川(2003), Kurt(2008, 2009)によって証明されている．得られた結果は3次元以下ではその確率が常に正となることであり，これは高次元の場合と比べ場の挙動が大きく変わることを示している．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
Δφモデルで場が正となる確率の評価に関する問題については結果が得られ，論文の投稿・掲載受理となり一定の成果を挙げることができたが，その他の問題についてはあまり進展がないため．
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き長距離相関を持つ確率場の漸近挙動に関する解析を進める．特に，対象としているΔφモデルではFKG不等式などの相関不等式や，相関関数のランダムウォーク表現などの確率論的手法の多くが成立しないという技術的な困難があるが，関数解析などを用いた解析的な手法による結果が他の研究者によって最近いくつか得られており，それらが考えている問題に対し有効でないか検討したい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
参加を予定していた研究集会に都合により参加できなくなったため．
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| 次年度使用額の使用計画 |
当初の計画と大きく変えることはせず，次年度分と合わせ旅費および物品費に使用する予定である．
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