| 研究課題/領域番号 |
26400148
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
南 就将 慶應義塾大学, 医学部, 教授 (10183964)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | ランダム作用素 / スペクトル統計 / 感染症モデリング |
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| 研究実績の概要 |
(1) 一般化Sturm-Liouville作用素のあるクラスを定義し、その固有関数展開定理について調べた。伝統的なSturm-Liouville作用素とは、2階微分の項と、掛け算作用素として働く0階の項（ポテンシャル項）からなる常微分作用素であり、それに対してはWeyl, Stone, Titchmarsh, Kodairaによる完成した理論（いわゆるWeyl理論）がある。26年度の研究ではSturm-Liouville作用素の2階微分の項を、通常の微分に引き続いてあるラドン測度 m(dx) に関する微分を行う作用素でおきかえ、またポテンシャル項をある種の超関数でおきかえたものを考察の対象とした。その結果、このクラスに属する作用素に対してもWeyl理論が成立することがほぼ確認され、また測度 m(dx) とポテンシャル項が収束すればスペクトル測度も収束することを、ある制限的な条件の下では示すことができた。しかしながら、測度 m(dx) が有限個の点測度のみからなるケース（このときSturm-Liouville作用素は三重対角行列と同等である）を共通の枠組みに含めることに成功していない。本来の研究目的である、離散から連続への極限定理を示すためには、この問題を解決することが必要である。
(2) 本研究課題の、感染症疫学への応用の可能性を探るために、2013年の風疹の流行を数理モデルに基づいて考察した。現在日本では、風疹に対する成人間の抗体保有率は全体としては流行を抑えるのに十分なだけ高いのであるが、男女間で比較すると顕著な差がある。そこで成人の日常的な接触には男女のゆるやかな棲み分けがあるというモデルを作ったところ、2013年の日本には風疹流行のための素地があったことが示された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
「概要」の項に述べたように、三重対角行列をもWeyl理論の枠内で扱える、という見込みで研究を開始したのだが、アナロジーがうまく働かない部分があることに気づき、その調整が26年度内にはできなかった。またそのために、交付申請書で予定していた「独立だが同分布でない確率変数族をポテンシャル項とする離散型シュレーディンガー作用素に対するスペクトル統計の研究には着手できなかった。
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| 今後の研究の推進方策 |
(1) 現在停滞している一般化Sturm-Liouville作用素のスペクトル理論を完成させ、その結果を三重対角型ランダム行列の連続極限に応用する。そのために、Weyl理論に関するStoneやTitchmarshの古典的著作を改めて精査する。
(2) 26年度に着手できなかったスペクトル統計の問題に取り組む。特にランダム・ポテンシャルが定常でなくても、ポアソン的なスペクトル統計が得られるための条件を見出したい。そのために、独立だが同分布でない点過程の重ねあわせがポアソン点過程に収束するための条件を精査する。
(3) 26年度に研究した風疹流行モデルにおいて男女の棲み分けの指標として用いたGupta, Anderson, Mayによる係数には批判があるため、これをより新しいNewmanによる係数でおきかえたモデルを定式化し、流行が起きるための数学的な条件を調べる。
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