| 研究実績の概要 |
タイヒミュラー空間 T (S) は曲面 S 上の複素構造の変型空間である。複素構造の変型の方法として擬等角写像による変型がこれまで深く研究されてきた。例えばタイヒミュラー空間 T (S) 上のタイヒミュラー距離やT (S) 自身の複素構造は、擬等角写像を用いて定義される。擬等角写像を用いた複素構造の変型のうち、特によく研究されている方法が平坦構造による変型である。J を S の複素構造とし、q をリーマン面 (S,J) 上の2次微分とする。q の平方根を S 上で複素積分することにより、S 上の複素座標 ζ が得られる(自然座標)。この ζ に SL(2, R) の元を合成することでリーマン面 S の複素構造が変型できる。これが平坦構造 (J, q) によるリーマン面の変型である。これにより SL(2, R) から T (S) への写像が定まり、上半平面 H2 = SL(2, R)/SO(2) から T (S) への正 則写像 f : H2 → T(S) を誘導する。この像 f(H2) をタイヒミュラー円板と呼ぶ。このときタイヒミュラー・モジュラー群のうちこのタイヒミュラー円板を保つタイヒミュラー・モジュラー部分群 Stab(f(H2)) から PSL(2,R) へ自然な準同型 DAf : Stab(f(H2)) → PSL(2,R) が定まり、特に擬アノソフ写像の拡大率は、対応する双曲型のメビウス変換の拡大率に一致する。逆に任意の擬アノソフ写像に対し、それが保つタイヒミュラー円板 がただ1つ存在することもベアスにより示されている。このようにタイヒミュ ラー・モジュラー変換のうち擬アノソフ写像の研究には、タイヒミュラー円板つまり平坦構造が不可欠な道具になっている。今年度はタイヒミュラー円板を保つタイヒミュラー・モジュラー部分群と幾何学的コクセター群との類似の観点から、双曲コクセター群の増大度の数論的性質、特に３次元理想双曲コクセター群の増大度について考察した。次年度以降これらの問題についてさらに考察を続けて行きたい。
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