| 研究実績の概要 |
曲面S上の複素構造の変形の典型的な方法として、SからS自身への擬等角写像による変形がある。Sの複素構造の変形空間であるタイヒミュラー空間T(S)上のタイヒミュラー距離やT(S)自身の複素構造が、この擬等角写像を用いて定義され、Sの複素構造の研究に利用されている。
そのような擬等角変形のうちで特に深く研究されている方法が、次のような平坦構造による変形である。JをSの複素構造とし、qをリーマン面(S,J)上の2次微分とする。この組(J,q)を曲面Sの平坦構造という。qの平方根をS上で複素積分することにより、S上の複素座標ζが得られる(自然座標)。このζにSL(2,R)の元を合成することでSの複素構造が変形できる。これを平坦構造(J,q)による変形という。この変形により定まるSL(2,R)からT(S)への写像は上半平面H2 = SL(2,R)/SO(2)
からT(S) への正則写像f : H2 → T(S)を誘導する。この像f(H2)をタイヒミュラー円板と呼ぶ。このタイヒミュラー円板を保つタイヒミュラー・モジュラー部分群 Stab(f(H2))からPSL(2,R)へ自然な準同型DAf : Stab(f(H2)) → PSL(2,R)が定まり、特に擬アノソフ写像の拡大率は、対応する双曲型のメビウス変換の拡大率に一致する。逆に任意の擬アノソフ写像に対し、それが保つタイヒミュラー円板がただ1つ存在することもベアスにより示されている。このように擬アノソフ写像というタイヒミュラー・モジュラー変換の研究には、タイヒミュラー円板つまり平坦構造が不可欠な道具になっている。
今年度は擬アノソフ写像の拡大率を根に持つ多項式で2-Salem多項式と同じ根の分布を持つ多項式系を構成した。次年度はこの多項式系の既約性を示し、2-Salem数を拡大率に持つ擬アノソフ写像の族の存在を示すことが研究目標である。
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