平坦構造によるタイヒミュラー・モジュラー群の研究

2019 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 26400151
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 解析学基礎
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 小森 洋平 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70264794)
• 研究期間 (年度): 2014-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: リーマン面 / コクセター群 / サラム数

研究成果の概要

タイヒミュラー・モジュラー部分群と幾何学的コクセター群との類似の観点から、コクセター系から擬アノソフ写像を構成し、その拡大率を調べた。具体的にはA型のアファインコクセター系の頂点の1つに１辺付け加えたコクセター系を扱った。今回の研究では頂点数が偶数の場合にコクセターグラフの２重被覆をとったグラフに対応するコクセター系が、 頂点数がが8以下なら双曲的で、10以上なら高階数というクラスになることを示した。今回の結果の応用として拡大率が２サラム数になる擬アノソフ写像族が構成できた。

自由記述の分野

リーマン面の変形理論

研究成果の学術的意義や社会的意義

曲面から曲面自身への自己同相写像の反復合成を曲面上の離散的な時間発展と思うと、曲面の種類及び同相写像の種類により複雑になる。特に種数が２以上の曲面における擬アノソフ写像は、伸びる方向と縮む方向に分解でき、トーラスの場合の双曲変換の類似になっている。この伸縮の割合を擬アノソフ写像の拡大率といい、その数論的性質など詳しく調べられている。
今回の研究では鏡映変換から定まるコクセター系という代数系を用いて、２サラム数という代数的整数を拡大率に持つ擬アノソフ写像を構成した。