| 研究課題/領域番号 |
26400154
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
水田 義弘 広島大学, 理学研究科, 名誉教授 (00093815)
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| 研究分担者 |
山内 雄介 広島工業大学, 工学部, 助教 (00451435)
大野 貴雄 大分大学, 教育学部, 准教授 (40508511)
小山 哲也 広島工業大学, 工学部, 教授 (50170402)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 変動指数をもつ関数空間 / 偏微分方程式 / ソボレフの定理 |
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| 研究実績の概要 |
身の回りに起きるさまざまな現象を，数学の理論を用いて解析するために，偏微分方程式を利用する。現象を記述する偏微分方程式の解を解析することによって，現象の起因を説明するとともに将来の予測が可能となる。偏微分方程式の解の存在や解の特性を調べるとき，本研究の主題である関数空間が重要な役割を果たす。本研究において，ソボレフが開始した理論，すなわち，ソボレフの定理を発展させることによって，身の回りに起きる複雑な現象を解明するための数学的な方法を数多く与えることに成功した。特に，変動指数をもつ関数空間におけるソボレフの定理の発展は世界の最先端を駆けるものである。本研究で得られた成果は，本年2月に数理解析研究所で開催された研究集会において，「Riesz potentials in central Herz-Morrey spaces」という題目で発表した。また，本年3月，日本数学会年会の企画特別講演で「変動指数をもつ関数空間」という題目で基礎的な部分から世界の最先端の理論まで幅広く発表した。さらに，本研究で得られた成果のうち，変動指数をもつ関数空間の間の関係を纏めた論文が近々学術論文として公表される予定である：
Maeda, FumiYuki; Mizuta, Yoshihiro; Ohno, Takao; Shimomura, Tetsu 著
「Duality of Non-Homogeneous Central Herz-Morrey-Musielak-Orlicz Spaces」
To appear in Potential Anal. 2017
このように，本研究を継続・発展させることによって，さまざまな現象を解明し将来予測に結び付けるための理論の開発が大いに期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究で得られた成果は各種の学術会議で発表されており，さらに，近々学術論文として公表されるなど，本研究は順調に発展している。
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| 今後の研究の推進方策 |
偏微分方程式の解の存在や正則性を調べるときに，ソボレフが導入した関数は重要な役割を果たす。近年になって，流動学や弾性学の研究において，変動指数をもつ偏微分方程式の研究が盛んに行われている。この研究をさらに発展させるためには，レベーグの Lp 関数空間ばかりでなく，変動指数をもつさまざまな関数空間の理論を構築しておくことが重要である。
そこで，本研究において，変動指数をもつさまざまな関数空間に対応して，ソボレフの不等式，Trudinger の指数不等式，ヘルダー連続性などに関するソボレフ型定理を拡張・発展させる。さらに，さまざまな関数空間の相対性についても研究を深める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本年2月の数理解析研究所での講演や3月の日本数学会年会企画特別講演の準備のため，当初予定した出張の取りやめや期間の短縮などによって，若干の研究費が使用できなかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
本研究の発展・推進を確実に図るため，実解析やポテンシャル論などに関連した各種の研究集会に出席して，成果発表や資料の収集を行う。さらに，本研究に関連した資料を収集，計算機周辺の改善や研究に必要な消耗品を購入する。
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