非線形発展方程式と準変分解析

2015 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 26400162
• 研究機関: 和歌山大学
• 研究代表者: 久保 雅弘 和歌山大学, システム工学部, 教授 (80205129)
• 研究期間 (年度): 2014-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: 準変分不等式 / 楕円型偏微分方程式 / 楕円型変分不等式 / 不動点定理 / 変分原理 / 劣微分作用素

研究実績の概要

準劣微分作用素に関する抽象的方程式を研究して、解の存在定理を証明し、さらにその結果を具体的な楕円型変分不等式、楕円型準変分不等式に応用した。
準劣微分作用素は、変分原理と不動点解析を統一的に扱うために、研究代表者が2013年に発表した論文で導入した概念であり、多くの非線形問題を数学的に解析するための有効な枠組みを与える。この論文で同時に研究代表者が得た抽象的な解の存在定理では、不動点定理としてシャウダーの定理を用いることを想定した条件を定理の仮定として用いていたため、変分原理において汎関数を最小化するものが一意的であることが必要であった。具体的には汎関数の狭義凸性を仮定することが必要であったため、この点を緩めることができるようにすることが、本研究の主要課題のひとつであった。
本年度の研究では、不動点定理として、角谷等による多価写像に対する不動点定理を用いて存在定理を証明することができた。これによって、汎関数の狭義凸性を仮定からはずすことが可能となり、凸性（これは変分原理において自然な仮定である）とコンパクト性（これは不動点解析において自然な仮定である）のもとで抽象的作用素方程式の解の存在定理を証明することができた。
具体的問題への応用においても、汎関数の狭義凸性を仮定しないで、楕円型変分不等式や、楕円型準変分不等式の解の存在を証明することができるようになった。さらに、生物拡散問題に表れる連立楕円型偏微分方程式に関する準変分不等式への応用も、生じる汎関数の狭義凸性を仮定することなく、与えることができた。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本研究の主要な研究目的のひとつである、抽象楕円型の準劣微分作用素方程式に関して、多価作用素に関する不動点定理を用いることが可能となり、解の存在定理の仮定を緩めることができた。

今後の研究の推進方策

本研究のもう一つの主要な研究目的である、放物型準変分方程式の問題に重点的に取り組む。まず、抽象的方程式の解の存在定理を証明し、さらに、その抽象論を具体的な放物型変分不等式、放物型準変分不等式に応用する。