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2014 年度 実施状況報告書

制約条件付き流体方程式と一般化された放物型変分不等式に対する相補性条件の応用

研究課題

研究課題/領域番号 26400164
研究機関京都教育大学

研究代表者

深尾 武史  京都教育大学, 教育学部, 准教授 (00390469)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2018-03-31
キーワード力学的境界条件 / 体積制約条件
研究実績の概要

時間依存のある体積制約条件に対する、抽象発展方程式の可解性の理論を応用し、力学的境界条件下でのAllen-Cahn方程式に領域の内部と境界で体積制約条件を課した問題の可解性について結果を得た。力学的境界条件の構造から、ある適切な条件下では未知関数は領域の内部と境界での積分量の和が保存されるのが自然である。そのため、本研究の課題の1つであるLagrange乗数による相補性条件について、既存の抽象理論を応用し、新たな課題として適応可能な力学的境界条件下での問題について、まずはAllen-Cahn方程式について相補正条件を弱解の定義に採用し、弱解の存在と一意性について考察した。領域の内部と境界で異なるポテンシャルをとる場合を設定し、これらポテンシャルの間に適切な支配不等式を仮定することでより広いクラスを取り扱える設定となっている。
二種の金属の相分離を記述するCahn-Hilliard方程式に対して、よく知られている第2種境界条件下でのCahn-Hilliard方程式の取り扱いを基本に、化学ポテンシャルに対してのみ第2種境界条件を課し、相変数には力学的境界条件を課した問題を考察し、化学ポテンシャルの境界条件からくる内部での保存条件は方程式の構造として保ち、境界上での体積保存を付加条件とみる問題を新たに取り上げた。この場合にも相補正条件を弱解の定義に採用し、領域内部の積分量を0とする部分線形空間を基礎空間に選んだ発展方程式の抽象理論を応用することで、弱解の存在を証明することができた。連続依存性については既存の結果を直接適応することができた。この場合、考えられていた相変数の領域内部の積分量に対するLagrange乗数と新たに付加された条件からくる相変数の境界上での積分量に対するLagrange乗数の2つが異なる形で登場する点に注意したい。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

研究計画では流体方程式を中心に取り扱うところであったが、既存の結果が応用できる問題として、力学的境界条件の課題が新たに見つかったため、まずは第1段階として、放物型方程式ならびに連立系に対する力学的境界条件を課した問題の研究に取り組んだ。これを足がかりとして、さらに新たな課題が発見され、幅広い問題まで既存の発展方程式の抽象理論が適応できることが明確になった。

今後の研究の推進方策

今年度の研究では付加条件として、体積保存条件を考慮したが、本来力学的境界条件が持つ性質として、方程式そのものの構造として内部と境界の積分量の和の保存則がある。この点についていくつかの未解決問題が見つかったため、引き続き、力学的境界条件を中心とした研究を続けていく。

次年度使用額が生じた理由

洋古書購入に計画していた経費のうち、入手不可能であった古書の経費が翌年度へ繰り越しとなった。

次年度使用額の使用計画

同様の内容の書かれている図書の購入費として計上する。

  • 研究成果

    (10件)

すべて 2015 2014

すべて 雑誌論文 (5件) (うち査読あり 4件、 謝辞記載あり 5件) 学会発表 (5件)

  • [雑誌論文] Quasi-variational inequality approach to heat convection problems with temperature dependent velocity constraint2015

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Fukao and Nobuyuki Kenmochi
    • 雑誌名

      Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. A

      巻: 35 ページ: 2523-2538

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions and mass constraint on the boundary2015

    • 著者名/発表者名
      Pierluigi Colli and Takeshi Fukao
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      巻: 429 ページ: 1190-1213

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Singular limit of Allen-Cahn equation with constraints and its Lagrange multiplier2015

    • 著者名/発表者名
      Mohammad Hassan Farshbaf-Shaker, Takeshi Fukao and Noriaki Yamazaki
    • 雑誌名

      Discrete and continuous dynamical systems, supplement 2015

      巻: 2015 ページ: to appear

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] The Allen-Cahn equation with dynamic boundary conditions and mass constraints2015

    • 著者名/発表者名
      Pierluigi Colli and Takeshi Fukao
    • 雑誌名

      Mathematical Methods in the Applied Sciences

      巻: 38 ページ: to appear

    • 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Abstract theory of variationa inequalities with Lagrange multipliers and application to nonlinear PDEs2014

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Fukao and Nobuyuki Kenmochi
    • 雑誌名

      Mathematica Bohemica

      巻: 139 ページ: 391-399

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [学会発表] Some equations and dynamic boundary conditions of Cahn-Hilliard type with singular potentials2015

    • 著者名/発表者名
      深尾 武史, Pierluigi Colli
    • 学会等名
      日本数学会 2015 年度年会 実関数論分科会
    • 発表場所
      明治大学
    • 年月日
      2015-03-21 – 2015-03-24
  • [学会発表] Cahn-Hilliard型の方程式ならびに力学的境界条件に対する初期値問題について2014

    • 著者名/発表者名
      深尾 武史, Pierluigi Colli
    • 学会等名
      第40回発展方程式研究会
    • 発表場所
      日本女子大学
    • 年月日
      2014-12-25 – 2014-12-27
  • [学会発表] Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions and mass constraints on the boundary2014

    • 著者名/発表者名
      深尾 武史, Pierluigi Colli
    • 学会等名
      日本数学会 2014 年度秋季総合分科会 実関数論分科会
    • 発表場所
      広島大学
    • 年月日
      2014-09-25 – 2014-09-28
  • [学会発表] Singular limit of Allen-Cahn equation with constraint and its Lagrange multiplier2014

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Fukao, Noriaki Yamazaki and Mohammad Hassan Farshbaf-Shaker
    • 学会等名
      AIMS' 10th International Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications
    • 発表場所
      スペイン マドリード
    • 年月日
      2014-07-07 – 2014-07-11
  • [学会発表] Allen-Cahn equation with dynamic boundary conditions and mass constraints2014

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Fukao and Pierluigi Colli
    • 学会等名
      COPDE2014 Conference on Partial Differential Equations
    • 発表場所
      イタリア ノヴァチェラ
    • 年月日
      2014-05-28 – 2014-06-01

URL: 

公開日: 2016-05-27  

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