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2015 年度 実施状況報告書

双曲型作用素の主表象のスペクトル及びハミルトン流の構造と強Gevrey双曲型指数

研究課題

研究課題/領域番号 26400167
研究機関大阪大学

研究代表者

西谷 達雄  大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80127117)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2017-03-31
キーワードGevrey強双曲性指数 / 法束上で狭義双曲型 / 包合的 / 強双曲系 / 局所化
研究実績の概要

一般のm階の微分作用素に対してGevrey強双曲性の研究を最も重要と思われる場合から始めた.Gevrey強双曲性指数を,任意の低階に対して初期値問題がGevreyのsクラスで適切となる最大のsとして定義するとき,V.Ivriiによって微分作用素がm次の特性点をもつときGevrey強双曲性指数はm/(m-2)以下であることが知られていた.この条件の十分性に対応する結果として以下の結果の証明に成功した.m次特性点集合は滑らかな多様体と仮定し,微分作用素のm次特性多様体における局所化を考える.この局所化の伝播錐がm次特性多様体に横断的でありかつ局所化が特性多様体の法束で狭義双曲型多項式となるときGevrey強双曲性指数はm/(m-2)となる.この結果はGevrey強双曲型指数の研究の最初の基本結果と考えられる.一方でBronshteinの古典的な結果からm階の微分作用素に対してはGevrey強双曲性指数はm/(m-1)以上であることが知られている.これについて局所化の伝播錐がm次特性多様体の接平面に含まれる場合については局所化が特性多様体の法束で狭義双曲型多項式であるとの仮定の下でいくつかの補足的条件を課すと実際にGevrey強双曲型指数がm/(m-1)になることを示すことができた.
一階のmxmの微分方程式系についてもGevrey強双曲型指数の研究を行い,G.Metivierと共同で系の行列式のm次特性点集合が滑らかな多様体でかつ包合的な場合,行列式の局所化が特性多様体の法束で狭義双曲型多項式ならば系は強双曲系であることの証左を得た.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

m階微分作用素に対してGevrey強双曲性指数が最大になる場合を考察し,局所化の伝播錐と特性多様体が横断的でかつ局所化作用素が特性多様体の法束上で狭義双曲型作用素のとき,Gevrey強双曲性指数がm/(m-2)であることを示すことに成功した.これは2階微分作用素が実効的双曲型作用素である場合に対応し,Gevrey強双曲性の研究において最も重要な場合の一つであると考えられる.

今後の研究の推進方策

Gevrey強双曲性の研究においてもう一つの重要な場合である,局所化の伝播錐が特性多様体の接空間に含まれる場合の研究を推し進める.Bronshteinの古典的な結果より,m 次特性点をもつ微分作用素に対し,そのGevrey強双曲性指数はm/(m-1)以上であることが知られているが,局所化の伝播錐が特性多様体の接空間に含まれる場合はGevrey強双曲性指数はm/(m-1)であることが予想される.この予想の証明に挑む.

次年度使用額が生じた理由

イタリアのピサ大学を訪問しピサ大学のF.Colombini氏と2週間程度の共同研究を行う予定であったが,Colombini氏の体調不良によってこの計画を次年度に延期した.

次年度使用額の使用計画

2016年の4月にイタリアのピサ大学を訪問しF.Colombini氏と2週間程度の共同研究をおこなう.そのための旅費として使用する.

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2015

すべて 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 1件、 査読あり 2件、 オープンアクセス 2件) 学会発表 (2件) (うち招待講演 2件) 図書 (1件)

  • [雑誌論文] A simple proof of the existence of tangent bicharacteristics for noneffectively hyperbolic operators2015

    • 著者名/発表者名
      T.Nishitani
    • 雑誌名

      Kyoto Journal of Mathematics

      巻: 55 ページ: 281-297

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Counterexamples to $ C^{\infty}$ well posedness for some hyperbolic operators with triple characteristics2015

    • 著者名/発表者名
      E.Bernardi and T.Nishitani
    • 雑誌名

      Proc. Japan Acad. Ser A.

      巻: 91 ページ: 19-24

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [学会発表] On the Gevrey strong hyperbolicity2015

    • 著者名/発表者名
      西谷達雄
    • 学会等名
      第22回超局所解析と古典解析
    • 発表場所
      富山県民会館
    • 年月日
      2015-12-05 – 2015-12-06
    • 招待講演
  • [学会発表] On the Gevrey strong hyperbolicity2015

    • 著者名/発表者名
      Tatsuo Nishitani
    • 学会等名
      Seminaire sur equations hyperboliques et physique mathematique
    • 発表場所
      IHP 研究所 パリ
    • 年月日
      2015-06-02 – 2015-06-04
    • 招待講演
  • [図書] 線形双曲型偏微分方程式2015

    • 著者名/発表者名
      西谷達雄
    • 総ページ数
      286
    • 出版者
      朝倉書店

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公開日: 2017-01-06  

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