| 研究実績の概要 |
非線形波動を表す様々な偏微分方程式系の初期値問題を考察し, 時間大域解が存在するための条件や, 大域解の漸近挙動などを明らかにすることが本研究の目的である。初期値は小さいものに限定する代わりに, できるだけ広いクラスの非線形項を扱うことを目指す。今年度は, 主として2次元空間および3次元空間における半線形波動方程式系の初期値問題に取り組んだ。この場合, 大域解の存在を保証する条件として零条件 (null condition) が有名であるが, 近年は, より弱い条件(弱零条件)の下での大域解の存在や漸近挙動が明らかになりつつある。今年度の研究で得られた成果は以下の通りである:
1. 非線形項が未知関数の導関数のみに依存する場合に関して, 本研究代表者らによっていくつかの大域解存在のための条件が得られていたが, これらを統合した弱い条件下で大域解の存在を示すことに成功した。
2. 3次元空間の場合は, 1で得た条件下での大域解の漸近挙動が, 考えている半線形波動方程式系を簡約化して得られる常微分方程式系の解を用いて記述できることを示した。これは以前に得られていた結果の拡張である。2次元空間の場合にも, 1で得た条件よりも少し強い条件の下ではあるが, 同様の漸近挙動に関する結果を得た。
3. 2次元空間において, 非線形項が未知関数とその導関数の双方に依存するような非線形波動方程式系を考察し, 2次の項および3次の項がともに零条件を満たすならば大域解が存在すること, および大域解が漸近自由になることを示した。これは以前 Alinhac により考察されていた非線形項が導関数のみに依存する場合の結果の拡張である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
半線形波動方程式系の大域解の存在と解の漸近挙動に関して, 従来知られていた結果の拡張を得ることは本研究の目標の1つである。これに関して, 特に3次元空間の場合にはおおむね満足のいく形での拡張が得られたこと, 2次元空間の場合には, 改良の余地がまだあると思われるものの, 新たな知見も得られたことなどを考慮して, 研究はおおむね順調に進んでいると判断した。
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