| 研究実績の概要 |
今年度は波動方程式と Klein-Gordon 方程式の非線形連立系の初期値問題に関する研究を主として行った. 空間3次元で非線形波動方程式系を考えた場合, 小さな初期値に対する大域解存在(Small Data Global Existence, 以下 SDGE)についての臨界次数は2である. 実際, 一般の2次の非線形項を持つ場合には SDGE は成立せず, なんらかの制約が必要であることが知られている. 非線形波動の場合の SDGE の十分条件としては零条件(null condition) と呼ばれる条件が有名である. 他方, 非線形 Klein-Gordon 方程式の場合は2次以上の非線形項であれば無条件に SDGE が成立する. 報告者は, 波動とKlein-Gordon方程式の連立系の場合は, どのような条件下で SDGE が成立するかに興味をもち, 波動, Klein-Gordon 単独の場合の SDGE の結果を自然に含むような SDGE の結果を以前に得ていたが, その条件下では波動方程式に従う成分の解の時空減衰率は線形波動の場合に比べて悪いものしか得られなかった. 以上を踏まえて今年度は以下の研究を行った.
(1) 波動成分およびその導関数の時空減衰率の評価を悪くする原因は, 波動成分の非線形項に含まれる Klein-Gordon 成分同士の相互作用である. この部分に対する新たな「零条件」を導入し, この条件を付け加えれば波動成分とその導関数の時空減衰率がかなり改善されることを示した.
(2) 初期値が有界領域の外では0になる場合に制限すれば(上記(1)ほどではないが)波動成分自身の時空減衰率が改善されることを示した(上と異なり導関数の評価は改善されない). また, このような初期値の場合には以前よりも弱い条件下で SDGE が成立することが分かった.
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