| 研究課題/領域番号 |
26400171
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| 研究機関 | 愛媛大学 |
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研究代表者 |
内藤 雄基 愛媛大学, 理工学研究科, 教授 (10231458)
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| 研究分担者 |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 教授 (40232227)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 非線形解析 / 楕円型偏微分方程式 / 放物型偏微分方程式 / 臨界指数 / 国際研究者交流：韓国 |
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| 研究実績の概要 |
非線形偏微分方程式においては、非線形性や空間次元、パラメータ等によって決まる臨界指数が存在し、その指数を超える毎に解の性質や挙動が劇的に変化することが知られている。今年度は、非線形放物型偏微分方程式および楕円型偏微分方程式に対して、解の漸近的性質および解構造と臨界指数との関連性について考察を行った。とくに非線形項がべき関数である非線形楕円型偏微分方程式においては、空間次元によって決定される臨界指数が存在する。ここでは、超臨界指数とも呼ばれる空間１１次元以上で現れるJoseph-Lundgren 臨界指数（以後 JL 指数とも記す）が解の性質に及ぼす影響について考察を行った。
非線形楕円型偏微分方程式の正値球対称解に対して、２つの解が交点を持つかどうかという観点から方程式の解構造について考察を行った。まず、方程式の分類を行い、解構造と正値全域解の存在・漸近挙動との関連を示すことに成功した。また、その解構造がJL臨界指数を超えることにより大きく変化することを示すことができた。さらにJL臨界指数においては、係数関数のある種の単調性により、解の構造が決定されることが明らかになった。
また、べき乗型非線形項をもつ非線形熱方程式の Cauchy 問題の時間大域解の漸近挙動について考察を行った。非線形熱方程式の Cauchy 問題においては、２つの解の初期関数が空間無限で十分に近ければ、それらの解は時間無限大で近づいてくることが知られている。本研究では、漸近接合展開法に基づく比較定理を駆使することにより、優JL臨界指数をもつ問題において、重み付きのノルムにおける定常解への収束レートを与えることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非線形楕円型偏微分方程式の分離構造および非線形放物型偏微分方程式の時間大域解の漸近挙動について特徴的な現象を捉えることができた。とくにJoseph-Lundgren 臨界指数が解の性質に及ぼす影響を明らかにすることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
一般の非線形項をもつ楕円型偏微分方程式に対して、解の分離的性質の観点から、その解構造を明らかにしたい。また、非線形熱方程式のCauchy 問題において初期関数を連続的に変化させた場合に現れる、threshold 解に関する問題に取り組んでいきたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
非線形楕円型偏微分方程式の解構造が、予想以上に複雑な様相を呈していることが判明し、その解明に予定以上の時間を費やしたため、非線形放物型方程式に関する研究協力者との研究打ち合わせを遅らせることとなった。そのために未使用額が生じた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
研究打ち合わせ等を次年度に行うこととし、未使用額はその経費に充てることとしたい。
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