• 研究課題をさがす
  • 研究者をさがす
  • KAKENの使い方
  1. 課題ページに戻る

2016 年度 実施状況報告書

非線形放物型偏微分方程式における臨界指数と解の挙動

研究課題

研究課題/領域番号 26400171
研究機関愛媛大学

研究代表者

内藤 雄基  愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (10231458)

研究分担者 石井 克幸  神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2018-03-31
キーワード非線形解析 / 楕円型偏微分方程式 / Liouville 型定理 / A priori 評価
研究実績の概要

非線形偏微分方程式においては、非線形性や空間次元、パラメータ等によって決まる臨界指数が存在し、その指数を超える毎に解の性質や挙動が劇的に変化することが知られている。今年度は、Sobolev 劣臨界における非線形楕円型偏微分方程式および非線形放物型方程式に対して、非線形項の係数関数が非負であり零領域をもつ場合(semidefinite case)の正値解の事前評価(a priori estimate)について考察を行った。スケーリング法を適用することにより、解の事前評価に対する問題が特別な非線形楕円型偏微分方程式に対する Liouville 型問題に帰着されることを示すとともに、その Liouville 型定理を導いた。非負係数関数が零領域をもたない場合には、係数関数を正定数とする非線形楕円型偏微分方程式に対する Liouville 型問題に帰着されることが知られているが、非負係数関数が零領域をもつ場合には、係数関数が部分空間のみに依存する係数関数をもつ非線形楕円型偏微分方程式に対する Liouville 型問題に帰着できることを示すことができた。
非線形常微分方程式系の解の幾何学的な性質について考察を行った。本研究では、half-linear というスケーリングに関してある種の同次性をもつ方程式系に対して、解軌道が可長的かそうでないか、という問題を考え、それらの性質を満たす解をもつための方程式系の係数関数に対する臨界的な減衰オーダーを特定することができた。
非線形楕円型偏微分方程式の境界値問題の解の分岐構造について考察を行った。分岐問題において安定最小解の臨界に現れる極解が特異的であるかどうかという問題の考察を行った。本研究では、特異解の存在・一意性を示し、さらにその特異解が極解であるための必要十分条件を明らかにすることができた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

非線形楕円型偏微分方程式の解構造および非線形放物型偏微分方程式の時間大域解の漸近挙動において、Sobolev 臨界指数、 Joseph-Lundgren 臨界指数の及ぼす影響を捉えることができたとともに、さらに、非線形放物型方程式の不完全爆発解の構成および解の
自己相似解への収束性に関する研究に着手することができた。

今後の研究の推進方策

優 Sobolev 臨界における非線形放物型偏微分方程式の不完全爆発解の存在とその性質を明らかにするとともに、関連する楕円型偏微分方程式に対しても研究を進めたい。そのために正則解の特異解への漸近的性質を明らかにしたい。

次年度使用額が生じた理由

研究協力者の転任により、研究打ち合わせを遅らせたことにより未使用額が生じた。

次年度使用額の使用計画

研究打ち合わせ等を行うとともに、新たな資料収集も必要になると思われる。また成果発表も計画している。未使用額はそれらの経費に充てることとしたい。

  • 研究成果

    (12件)

すべて 2017 2016 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (3件) (うち国際共著 1件、 査読あり 3件、 オープンアクセス 1件、 謝辞記載あり 3件) 学会発表 (7件) (うち国際学会 4件、 招待講演 6件)

  • [国際共同研究] University of Zagreb(クロアチア)

    • 国名
      クロアチア
    • 外国機関名
      University of Zagreb
  • [国際共同研究] Hanbat National University(韓国)

    • 国名
      韓国
    • 外国機関名
      Hanbat National University
  • [雑誌論文] A priori bounds for superlinear elliptic equations with semidefinite nonlinearity2017

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito, Takashi Suzuki, Yohei Toyota,
    • 雑誌名

      Nonlinear Anal.

      巻: 151 ページ: 18--40

    • DOI

      10.1016/j.na.2016.11.016

    • 査読あり / オープンアクセス / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Rectifiable and nonrectifiable solution curves of half-linear differential systems2017

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito, Mervan Pasic, Satoshi Tanaka,
    • 雑誌名

      Mathematica Slovaca

      巻: (to appear)

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Convergence of a threshold-type algorithm using the signed distance function2016

    • 著者名/発表者名
      Katsuyuki Ishii and Masato Kimura
    • 雑誌名

      Interfaces and Free Boundaries

      巻: 18 ページ: 479 -- 522

    • DOI

      10.4171/IFB/371.

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [学会発表] Separation structure of solutions for elliptic equations with exponential nonlinearity2017

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito
    • 学会等名
      2017 International Workshop on Nonlinear PDE and Applications
    • 発表場所
      KAIST, Daejeon, Korea
    • 年月日
      2017-03-30
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Incomplete blow-up of solutions for semilinear heat equations with supercritical nonlinearity2017

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito
    • 学会等名
      第34回九州における偏微分方程式研究集会
    • 発表場所
      九州大学 西新プラザ(福岡市早良区)
    • 年月日
      2017-02-01
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Asymptotic self-similarity of solutions to semilinear heat equations2017

    • 著者名/発表者名
      内藤雄基
    • 学会等名
      Mathematical Analysis on Nonlinear PDEs
    • 発表場所
      東北大学 理学部(仙台市青葉区)
    • 年月日
      2017-01-06
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Singular extremal solutions for supercritical elliptic equations in a ball2016

    • 著者名/発表者名
      内藤雄基
    • 学会等名
      常微分方程式の定性的理論ワークショップ
    • 発表場所
      島根大学 総合理工学部(島根県松江市)
    • 年月日
      2016-09-22
    • 招待講演
  • [学会発表] A priori bounds for superlinear ellitptic equations with semidefinite nonlinearity2016

    • 著者名/発表者名
      鈴木貴、豊田洋平、内藤雄基
    • 学会等名
      日本数学会秋期大会
    • 発表場所
      関西大学(大阪府吹田市)
    • 年月日
      2016-09-15
  • [学会発表] Peaking solutions to semilinear heat equations with supercritical nonlinearities2016

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito
    • 学会等名
      7th Euro-Japanese Workshop on Blow-up
    • 発表場所
      The Mathematical Reseach and Conference Center in Bedlewo, Poznan, Poland
    • 年月日
      2016-09-08
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Classification of bifurcation diagrams for supercritical elliptic equations in a ball2016

    • 著者名/発表者名
      内藤雄基
    • 学会等名
      第141回神楽坂解析セミナー
    • 発表場所
      東京理科大学理学部(東京都新宿区)
    • 年月日
      2016-05-28
    • 招待講演

URL: 

公開日: 2018-01-16  

サービス概要 検索マニュアル よくある質問 お知らせ 利用規程 科研費による研究の帰属

Powered by NII kakenhi