• 研究課題をさがす
  • 研究者をさがす
  • KAKENの使い方
  1. 課題ページに戻る

2015 年度 実施状況報告書

結晶粒界運動に関連する自由境界問題の数学解析と発展

研究課題

研究課題/領域番号 26400179
研究機関神奈川大学

研究代表者

山崎 教昭  神奈川大学, 工学部, 教授 (90333658)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2018-03-31
キーワード関数方程式 / 実函数論 / 力学系 / 最適制御 / 自由境界
研究実績の概要

結晶粒界運動を数学的に捉える方法が幾つかあるが、本年度は特異極限法による解析を試みた。実際、純粋な液体・固体の変化を考察するため、閉区間[-1,1]上の指示関数の劣微分項を含む Allen-Cahn方程式の特異極限問題を考察した。その問題は、既に、X. Chen と C. M. Elliott (Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 444(1994))により理論解析されているが、指示関数の劣微分項の元に関する特異極限の解析は行われていなかった。そこで、指示関数の劣微分項を他の項と分離して解析し、特に、H^1 の dual space の位相で解析することにより、指示関数の劣微分項の元の特異極限を明らかにすることができた。また、その特異極限と解の特異極限関数との関連も明らかにすることができた。これらの点が本年度の研究成果である。
また、特異極限問題の理論解析結果を利用することによって、指示関数の劣微分項を吉田近似しない数値解析方法を構築することができた。つまり、指示関数の劣微分項を近似することなく Allen-Cahn 方程式の数値実験を行うアルゴリズムの構築に成功した。この点も、本年度の重要な研究成果である。
更に、構築したアルゴリズムを用いて、指示関数の劣微分項を含む Allen-Cahn 方程式の数値実験を行った。得られた数値実験結果により、物質の状態を表す関数の値が [-1,1] の間をとることが確認でき、構築したアルゴリズムの有効性を示すことができた。この点も本年度の重要な研究成果である。今年度構築したアルゴリズムは、結晶粒界と純粋な液体・固体を表現する数理モデルの数値実験にも適用可能であると考えている。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

指示関数の劣微分項を他の項と分離して解析し、特に、H^1 の dual space の位相で解析することにより、指示関数の劣微分項の元の特異極限を明らかにすることができた。特に、その特異極限と解の特異極限関数との関連も明らかにすることができた点は、当初の計画では予想していなかった研究成果である。
また、特異極限問題の理論解析結果を利用することにより、指示関数の劣微分項を吉田近似しない数値解析方法を構築することができた。指示関数の劣微分項を近似することなく Allen-Cahn 方程式の数値実験を行うアルゴリズムを構築できた点は,今後,コンピュータを用いて結晶粒界数理モデルの解や最適制御問題の解を数値実験的に求めるうえで非常に意義のある研究成果である。
以上のことから,総合的に考えると、交付申請書に記載した「研究の目的」の達成度については、『おおむね順調に進展している。』と言える。

今後の研究の推進方策

Kobayashi 達により提唱された空間2次元の数理モデルは、完全に結晶化された後の運動方程式であり、体積が保存されている現象である。体積保存された物質の界面を記述する近似方程式としては、Cahn-Hilliard 方程式が代表的である。近年、力学境界条件を課した Allen-Cahn方程式が盛んに研究されているが、それを用いても体積保存された物質の界面を考察することができるのではないかと考えている。そこで、本研究で構築した解析手法を用いて、今後は力学境界条件を課した Allen-Cahn方程式の特異極限問題を考察し、界面運動の挙動の解析を行う。
また、本研究で指示関数の劣微分項を吉田近似しない数値解析アルゴリズムを構築した。一方、指示関数の劣微分項を吉田近似してもAllen-Cahn方程式の数値実験を行うことができるが、吉田近似パラメータの取り方によっては、数値計算結果が時間とともに振動して安定にならなかった。そこで、指示関数の劣微分項を吉田近似した数値解析アルゴリズムにおいて安定した数値実験結果を得るための条件を理論的に明らかにする。

次年度使用額が生じた理由

ドイツ・ベルリン、WIAS研究所の M. Hassan Farshbaf-Shaker 氏と研究打ち合わせするための日本招聘旅費(1ヶ月)を計上していたが、Farshbaf-Shaker 氏が日本滞在中、東京大学や愛媛大学にも招聘された。その費用は滞在先で支給されたため、次年度使用額が生じた。

次年度使用額の使用計画

ドイツ・ベルリン、WIAS研究所の M. Hassan Farshbaf-Shaker 氏と研究打ち合わせをするための海外旅費(2017年2月、1ヶ月を予定)として使用する。

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2016 2015 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (1件) (うち国際共著 1件、 査読あり 1件、 謝辞記載あり 1件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 2件)

  • [国際共同研究] WIAS研究所(ドイツ)

    • 国名
      ドイツ
    • 外国機関名
      WIAS研究所
  • [雑誌論文] Singular limit of Allen-Cahn equation with constraints and its Lagrange multiplier2015

    • 著者名/発表者名
      M. H. Farshbaf-Shaker, T. Fukao and N. Yamazaki
    • 雑誌名

      Discrete Contin. Dyn. Syst. 2014, Dynamical systems, differential equations and applications, 10th AIMS Conference, AIMS Proceedings, 2015

      巻: 2015 ページ: 418--427

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [学会発表] Lagrange multiplier and singular limit of double obstacle problems for Allen--Cahn equation with constraint2016

    • 著者名/発表者名
      山崎教昭、深尾武史、M. H. Farshbaf-Shaker
    • 学会等名
      日本数学会 2016年度年会
    • 発表場所
      筑波大学
    • 年月日
      2016-03-19
  • [学会発表] Remarks on numerical experiments of Allen--Cahn equations with constraint via Yosida approximation2015

    • 著者名/発表者名
      山崎教昭、鈴木友之、高棹圭介
    • 学会等名
      日本数学会 2015年度秋季総合分科会
    • 発表場所
      京都産業大学
    • 年月日
      2015-09-16
  • [学会発表] Singular limit of Allen--Cahn equation with constraints and dynamic boundary condition and its Lagrange multiplier2015

    • 著者名/発表者名
      Noriaki Yamazaki
    • 学会等名
      Equadiff 2015
    • 発表場所
      Universite Claude Bernard Lyon 1
    • 年月日
      2015-07-08
    • 国際学会
  • [学会発表] Optimal control of doubly nonlinear evolution equations governed by subdifferentials2015

    • 著者名/発表者名
      Noriaki Yamazaki
    • 学会等名
      27 th IFIP TC7 Conference 2015 on System Modelling and Optimization
    • 発表場所
      Sophia Tech Campus, Sophia Antipolis
    • 年月日
      2015-06-30
    • 国際学会

URL: 

公開日: 2017-01-06  

サービス概要 検索マニュアル よくある質問 お知らせ 利用規程 科研費による研究の帰属

Powered by NII kakenhi