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2015 年度 実施状況報告書

2点境界値問題の解の個数と振動解の長さとフラクタル次元

研究課題

研究課題/領域番号 26400182
研究機関岡山理科大学

研究代表者

田中 敏  岡山理科大学, 理学部, 教授 (90331959)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2019-03-31
キーワード2点境界値問題 / 正値解 / 符号変化する解 / 国際研究者交流
研究実績の概要

一次元リウヴィル型方程式の対称解から非対称解の分岐が起こることを発見することができた。その内容を東北大学、富山大学や大阪大学での研究集会や筑波大学での学会にて講演発表を行った。その内容をまとめた論文を国際学術誌に投稿した。これまで、リウヴィル型方程式の球対称解の構造はどの次元でも完全にわかっている。しかし、非対称解の構造については、二次元の円板領域の場合の完全な結果を除くと、その他の次元についてはよくわかっていなかった。本研究を通じて得ることができたある比較関数を使うと、一次元リウヴィル型方程式の対称解のモース指数を調べることができた。対称解の最大値が大きくなるにつれ、そのモース指数は0から1、1から2へと増加し、ルレイ・シャウダーの写像度の理論により非対称解の分岐が起こることがわかった。この方法は他の諸問題へも応用可能なものであり、今後の様々な発見が期待される。
韓国ウルサン大学の Inbo Sim 氏と上記の方法を応用して一次元の Henon 型方程式の非対称解の分岐について共同研究を始めた。
クロアチアのザグレブ大学の Mervan Pasic 氏と2階線形微分方程式の振動する正値解について共同研究を行い、その内容をまとめた共著論文を国際学術誌に投稿した。これまで、2階線形微分方程式の単調である正値解についてはよく調べられてきたが、振動する正値解についてはほとんどよくわかっていなかった。従って、今回の Mervan Pasic 氏との共同研究は新しいものである。
中国の東北師範大学の Fentao Wu 氏と振動解に関する研究打ち合わせを行った。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

昨年度に投稿した2編の論文も掲載受理となり、今年度も「研究実績の概要」で述べたように新たに2編の論文を投稿することができた。これらは交付申請書で予定していたものであり、本研究は順調に進展していると考える。

今後の研究の推進方策

今後は韓国ウルサン大学の Inbo Sim 氏と上記の方法を応用して一次元 Henon 型方程式の正値非対称解の分岐について引き続き共同研究を行う。また、一次元 Henon 型方程式の符号変化する解の分岐現象についても取り組む。2点境界値問題の専門家である Shin-Hwa Wang, Kuo-Chih Hung の両氏を台湾から日本に招へいして、共同研究を行い、本研究をさらに進展させる。交付申請書では無限長振動解のフラクタル次元の問題に取り組む予定であったが、今年度の研究により、無限長振動解自体の研究が不十分であることが判明した。そのため、今後は Pasic 氏と無限長振動解について共同研究を引き続き行う。その後、そのラクタル次元を調べる。

次年度使用額が生じた理由

次年度に2点境界値問題の専門家である Shin-Hwa Wang, Kuo-Chih Hung の両氏を台湾から日本に招へいして、共同研究を行うことになったので、そのための予算の一部として次年度に繰り越すことにした。

次年度使用額の使用計画

微分方程式関係の図書を購入する。研究打ち合わせや情報収集のため、2点境界値問題の研究者を訪問したり、研究集会に参加する。特に、2点境界値問題の専門家である Shin-Hwa Wang, Kuo-Chih Hung の両氏を台湾から日本に招へいして、本研究を進展させる。また、研究集会などで研究成果を発表する。

  • 研究成果

    (9件)

すべて 2016 2015 その他

すべて 国際共同研究 (3件) 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 1件、 査読あり 2件、 謝辞記載あり 2件) 学会発表 (3件) 備考 (1件)

  • [国際共同研究] University of Zagreb(クロアチア)

    • 国名
      クロアチア
    • 外国機関名
      University of Zagreb
  • [国際共同研究] University of Ulsan(韓国)

    • 国名
      韓国
    • 外国機関名
      University of Ulsan
  • [国際共同研究] 東北師範大学(中国)

    • 国名
      中国
    • 外国機関名
      東北師範大学
  • [雑誌論文] Uniqueness of sign-changing radial solutions for Δu-u+|u|^{p-1}u=0 in some ball and annulus2016

    • 著者名/発表者名
      Satoshi Tanaka
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      巻: 439 ページ: 154-170

    • DOI

      doi:10.1016/j.jmaa.2016.02.036

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Three positive solutions for one-dimensional p-Laplacian problem with sign-changing weight2015

    • 著者名/発表者名
      Inbo Sim, Satoshi Tanaka
    • 雑誌名

      Applied Mathematics Letters

      巻: 49 ページ: 42-50

    • DOI

      doi:10.1016/j.aml.2015.04.007

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [学会発表] Morse index and symmetry-breaking bifurcation for the one-dimensional Liouville type equation2016

    • 著者名/発表者名
      田中敏
    • 学会等名
      日本数学会2016年度年会
    • 発表場所
      筑波大学
    • 年月日
      2016-03-17 – 2016-03-17
  • [学会発表] Attractivity, rectifiability and non-rectifiability of solutions for two-dimensional linear differential systems2016

    • 著者名/発表者名
      鬼塚政一, 田中敏
    • 学会等名
      日本数学会2016年度年会
    • 発表場所
      筑波大学
    • 年月日
      2016-03-16 – 2016-03-16
  • [学会発表] Uniqueness of sign-changing radial solutions for the scalar field equation in some ball and annulus2015

    • 著者名/発表者名
      田中敏
    • 学会等名
      日本数学会2015年度秋季総合分科会
    • 発表場所
      京都産業大学
    • 年月日
      2015-09-14 – 2015-09-14
  • [備考] 田中 敏 web page

    • URL

      http://www.xmath.ous.ac.jp/~tanaka/

URL: 

公開日: 2017-01-06  

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