| 研究実績の概要 |
本年度は，２次元半分線形微分方程式系の摂動, ２点境界値問題の正値解の一意性に関する結果とその円環領域における優線形楕円型方程式の正値球対称への応用, 及び離散スパイルのボックス次元とその応用について成果を得た。
２次元半分線形微分方程式系の摂動について, 昨年度の研究にて, 摂動がない場合の解の漸近挙動を完全に分類し, 特性方程式の役割を果たす方程式を新たに発見していたが, 今年度は, ある意味で小さい摂動を加えても, 解構造が変化しないことを示すことができた。その結果には様々な応用がある。例えば, 準線形楕円型偏微分方程式に適用することができ, 非線形項の指数が劣臨界の場合に, 無限個の特異解の存在の証明に利用することもできる。
線形化方程式に関する新たな恒等式の発見により, それを応用して, ２点境界値問題の正値解の一意性に関する新たな結果を得ることができた。その結果を円環領域における優線形楕円型方程式に適用することにより, その正値球対称の一意性に関する様々な新たな結果を得ることができた。それらはこれまでに知られていた過去のいくつかの結果を含むものや, 改善するものである。
微分方程式や差分方程式の解軌道としてスパイラルはよく現れる。これまで連続スパイルについては, そのボックス次元が求められてきた。今回, 離散スパイルの計算方法を新たに確立することができた。それにより, ある２次元線形差分方程式系の解軌道のボックス次元を求めることが可能となった。
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