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2014 年度 実施状況報告書

高次元数値表の低次元数値表分割化へのHilbertの第13問題の応用

研究課題

研究課題/領域番号 26400189
研究機関東京理科大学

研究代表者

明石 重男  東京理科大学, 理工学部, 教授 (30202518)

研究分担者 児玉 賢史  東京理科大学, 理工学部, 助教 (60632552)
研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2017-03-31
キーワードCollatz予想 / 集合値解析 / エントロピー解析 / 再生核Hilbert空間論
研究実績の概要

1.Collatz写像の1次元力学系への拡張とLee-Yorkeの定理との関係
「与えられた自然数が奇数である場合は3倍して1を加え、偶数である場合は2で割る」という演算を繰り返すと、どのような自然数も必ず1に到達するというCollatz予想は、未だに未解決問題として知られ、整数論だけでなく、確率論や計算理論など、あらゆる方向からの研究が進んでいる。そしてこの問題に関しても、「無限大に発散する初期値が存在するか」や「1→4→2→1以外の周期起動が存在するか」等のような未解決問題が多いことでも有名である。本年度は、Collatz写像の連続体への拡張を考え、1次元力学系におけるLee-Yorkeの定理との関連性を見出し、Collatz写像の入れ子操作により構成される軌道の漸近的挙動解析の手段を得た。

2.再生核Hilbert空間の集合値解析的分類法
制御理論等で有効な再生核Hilbert空間理論をL2関数空間論に適用した場合に、再生核に基づいた集合値解析的分類が可能であることを示した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

非線形解析学に属する集合値解析と関数解析学に属する再生核Hilbert空間論という相異なる領域に属する2領域の間に、エントロピーを用いて記述される橋渡し的関連性が見いだせたため。
具体的には、L2空間の部分空間としての再生核Hilbert空間は、正定値関数を用いて特徴づけられること、ならびに正定値関数を積分核作用素と見なした場合の固有値固有ベクトル展開定理を与えるMercerの定理が、再生核Hilbert空間で用いられる内積を厳密に表現出来る事を見出したため。

今後の研究の推進方策

Mercerの定理により求められた内積は、対応する再生核Hilbert空間の閉単位球の構造を厳密に決定するが、この閉単位球を、母空間としてのHilbert空間から眺めた場合、コンパクト凸集合であることが知られている。そこで、Mercerの定理による積分核関数の公有地子乳ベクトル展開定理で得られた固有値列の分類法を、再生核Hilbert空間の分類に適用することが可能となる。この適用可能性は、集合値解析を用いて実現されるので、今後はこの方向で研究を進めていきたい。
現在は、本研究を実施するための数学的道具を準備している段階であるが、今後は、高次元データ圧縮への応用を展開していきたい。

次年度使用額が生じた理由

昨年度の申請題目に関する研究継続のため。

次年度使用額の使用計画

1.低次元数値表データの高次元埋め込み可能性
2.高次元数値表データの低次元数値表分解と近似再生システム作成
3.上記研究題目1と2の相互関係調査

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2015 2014

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件、 オープンアクセス 2件) 学会発表 (4件) (うち招待講演 3件)

  • [雑誌論文] The homeomorphism problem of the ranges of a Hilbert space under the compact positive operators2014

    • 著者名/発表者名
      Shigeo Akashi and Satoshi Kodama
    • 雑誌名

      Proceedings of the Third Asian Conference on Nonlinear Analysis and Optimization

      巻: 3 ページ: 1-5

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] 逆問題的視点からみたFourier解析2014

    • 著者名/発表者名
      水谷友哉, 児玉賢史, 明石重男
    • 雑誌名

      京都大学数理解析研究所講究録「非線形解析学と凸解析学の研究」

      巻: 1923 ページ: 105-109

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] A relation between the orbital structure and the topological one of an ε-expansive dynamical systems2015

    • 著者名/発表者名
      Satoshi Kodama and Shigeo Akashi
    • 学会等名
      The Ninth International Conference on Nonlinear Analysis and Convex Analysis
    • 発表場所
      Naresuan University (Thailand)
    • 年月日
      2015-01-21 – 2015-01-25
    • 招待講演
  • [学会発表] OSPFv3等コストマルチパス問題とtraceroute機能の非整合性2014

    • 著者名/発表者名
      明石重男、木下稔雅、藤枝俊輔
    • 学会等名
      シスコネットサーキングアカデミーNAIMI2014
    • 発表場所
      ソラシティカンファレンスセンター (東京都千代田区)
    • 年月日
      2014-08-21 – 2014-08-22
    • 招待講演
  • [学会発表] Simplification of Kolmogorov-Arnold representation related to Hilbert's 13th problem2014

    • 著者名/発表者名
      Tomoya Mizutani, Yusuke Goto, Yasushi Kikuchi, Satoshi Kodama and Shigeo Akashi
    • 学会等名
      京都大学数理解析研究所共同研究集会「非線形解析学と凸解析学の研究」
    • 発表場所
      京都大学数理解析研究所 (京都府京都市)
    • 年月日
      2014-08-19 – 2014-08-21
  • [学会発表] Application of fixed point theory and dynamical system theory to Collatz conjecture2014

    • 著者名/発表者名
      Shigeo Akashi and Satoshi Kodama
    • 学会等名
      The Fourth Asian Conference on Nonlinear Analysis and Optimization
    • 発表場所
      National Taiwan Normal University (Taiwan)
    • 年月日
      2014-08-05 – 2014-08-09
    • 招待講演

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公開日: 2016-05-27  

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