| 研究実績の概要 |
本研究者は、ウエストボヘミア大学（チェコ）のＲｙｊａｃｅｋ教授、Ｃａｄａ准教授らとの共同研究によって、辺着色されたトライアングルフリーグラフにおけるＲａｉｎｂｏｗ ４-サイクル（どの２辺も異なる色の長さ４のサイクル）を持つための最小色次数（各点に接続する辺で使われている色数の最小数）条件を与えた。昨年度は、この主張をより発展させるために、以下の問題をＣａｄａ准教授や横浜国大の小関准教授と共同研究を行った。
すなわち、辺着色されたトライアングルフリーグラフ（長さ３のサイクルを持たないグラフ）を、完全２部グラフに制限した時、最小色次数の下限を改良できないか？
最初のＲｙｊａｃｅｋ教授らとの結果によって得られた最小色次数の下限は（グラフの位数をｎとすると）ｎ／３である。完全２部グラフに制限することにより下限の改良が期待されたが、ｒａｉｎｂｏｗな部分グラフは非常に扱いが難しく、これまでのような有向グラフなどへの問題の置き換えによる手法がなかなかはたらかなかった。そこで、Ｒｙｊａｃｅｋ教授らとの結果の証明で利用した主張、辺彩色（同じ色の辺が端点を共有しない着色）された完全２部グラフＫ_{２,４}には、必ずｒａｉｎｂｏｗ ４-サイクルを持つという主張を利用することに方針を変え、以下の主張を得ることに成功した。
すなわち、辺着された完全２部グラフの最小色次数が３以上の場合、辺彩色された４-サイクルが存在する。４-サイクルは完全２部グラフＫ_{２,２}と同値であり、この主張を発展させて、完全２部グラフＫ_{２,４}の最小色次数の下限が得られれば、ｒａｉｎｂｏｗ ４-サイクルに対する下限が得られることになる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、研究実績の概要で述べたように、昨年度得られた辺着色された完全２部グラフが辺彩色された４-サイクルを持つための最小色次数の下限を発展させる。
すなわち、４-サイクルはＫ_{２,２}と同値であり、辺彩色されたＫ_{２,４}が存在するために必要な最小色次数が得られるように、上記の研究を発展させる。
特に、Ｇａｌｌａｉによる著名な、ｒａｉｎｂｏｗ Ｃ_３を持たない辺着色された完全グラフの構造定理のアナロジーとして、辺彩色されたＫ_{２,２}を持たない辺着色された完全２部グラフの構造を与える主張を構築する。さらに、この主張を一般化させて、辺彩色されたＫ_{２,３}、さらにＫ_{２,４}を持たない辺着色された完全２部グラフの構造を求める。ＥｒｄｏｓとＴｕｚａはＧａｌｌａｉの構造定理を利用して、辺着色された完全グラフがｒａｉｎｂｏｗ Ｃ_３を持つために必要な最小色次数を与えた。同様に、辺彩色されたＫ_{２,２}を持たない辺着色された完全２部グラフの構造から、辺彩色されたＫ_{２,４}を持つために必要な最小色次数を求め、完全２部グラフに対するｒａｉｎｂｏｗ４-サイクルを持つために必要な最小色次数問題を完結させる。
上記の研究が成功した場合、一般のグラフの場合を研究する。これまでのところ、最良な結果は、Ｒｙｊａｃｅｋらとの我々の研究結果である。トライアングルフリーグラフに対するこの主張の下限ｎ／３は十分ではないと予想されている。この下限を改良し、さらに一般のグラフに対する下限を求める。
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