|
最終年度は，有限要素法に基づいた既存のエネルギー保存・散逸型数値解法である離散偏導関数法の力学的性質について調査した．特に，弱形式がハミルトン系としての性質を持つかどうかを調べた．エネルギー保存・散逸則をもつ数値計算法を偏微分方程式に対して導出するには，通常，エネルギー保存・散逸則が保たれるように空間方向を離散化し，その上で，常微分方程式に対するエネルギー保存・散逸型数値計算法を適用する．この空間離散化の結果，離散化された方程式は，しばしば，ハミルトン常微分方程式や勾配流となる．もしも，そのような性質を持つのであれば，エネルギー保存・散逸則以外の性質をもつ数値計算法も導出できるようになる．結果として，離散偏導関数法による数値計算法は，そのままでは，ハミルトニアン方程式を導くことは示せなかった．しかし，数値計算法を修正し，ペトロフ・ガレルキン法として定式化すればハミルトン方程式になることが示せた．
研究期間全体としては，理論・実務の両面から，大きく分けて，以下の2つを達成した．まず，エネルギー保存・散逸則を保つ数値計算法の枠組みと有限要素外積解析の枠組みを統合する数値計算導出法を構築した．これは，主に，有限要素外積解析のスキームを導出する変分的定式化を応用することによる，理論的な結果である．また，有限要素外積解析による数値計算法を実際に利用するためには，離散調和形式の計算が不可欠であった．そのため，従来法に比較して計算量が非常に大きくなるという問題があった．これに対して，反復法を利用することで離散調和形式の導出を省く方法を考案し，この枠組みの実用性を向上させた．
|
