| 研究課題/領域番号 |
26400201
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| 研究機関 | 愛媛大学 |
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研究代表者 |
土屋 卓也 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00163832)
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| 研究分担者 |
小林 健太 一橋大学, 大学院商学研究科, 准教授 (60432902)
鈴木 貴 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (40114516)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | Lagrage補間 / 誤差解析 / 有限要素法 / （射影）外接半径 / Crouzeix-Raviart補間 / 曲面の面積 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では、三角形及び四面体上での高次Lagrange補間の誤差評価について詳細な解析を行ってきた。その結果、有限要素法の教科書の従来の記述を書き換えるような大きな成果を上げることができた。従来、有限要素法の三角形分割では、計算精度を上げるためになるべく「ふっくらした」三角形を使うべきだとされてきた。つまり、三角形上のLagrange補間の誤差評価を得るために、対象となる三角形及び三角形分割に何らかの幾何学的仮定を導入する必要があった。
本研究では、三角形の外接円の半径と直径を使い、三角形の幾何学的形状に全く依存しない誤差評価を得ることに成功した。その結果、三角形の外接円の半径が小さくなっていれば、「潰れた」あるいは「平らな」三角形を使っても、有限要素法により得られる数値解の精度は劣化しないことを示した。
これらの成果を発展させ、四面体上での高次Lagrange補間について、四面体の形状に全く依存しない誤差評価式を見出した。そのために、四面体に対し「射影外接半径」と呼ばれる全く新しい幾何学的量を導入した。
以上の結果を得るために、"Babuska-Azizの技巧"と呼ばれる手法を拡張し、直角三角形、あるいは直角四面体を「垂直に潰しても」高次Lagrenge補間の誤差は劣化しないことを示し、さらにアフィン変換の係数行列の特異値を評価することにより、一般の三角形及び四面体についての誤差評価を得た。
これらの結果を、「曲面の面積の定義問題」について応用した。その結果、曲面を三角形内接多面体で近似する場合、その多面体の三角形の外接半径の最大値が０に収束する場合は、多面体の面積が曲面積に収束することを示した。さらに、曲面をCrouzeix-Raviart補間で近似する場合は、使用する三角形分割の幾何学的形状に全く仮定をおかなくても、近似された曲面積が真の曲面積に収束することを示した。
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| 備考 |
上記は、研究期間中に発表した論文をまとめたレクチャーノートです。
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