| 研究実績の概要 |
本研究課題は共形ガリレイ群と呼ばれるリー群の表現論を発展させ, それを数学の他の分野や理論物理へ応用することを目的としている. 本年度は共形ガリレイ群のリー代数の表現論とその数学的・物理的応用についていくつかの成果を得た. まず, ある種の共形ガリレイ代数（無限個の異なる代数）の最高ウエイト既約表現の分類に成功した. この研究の応用として, 共形ガリレイ群を対称性として持つ微分方程式を何種類も導くことができた. これらの微分方程式が対称性をもつメカニズムを詳しく調べることにより, リー代数とリー超代数の双対性というアイディアを導入した. このアイディアに基づくと, 上記の微分方程式とは別な微分方程式であるが, 同じ群を対称性として持つものが存在すること, その微分方程式の解はリー超代数の表現論を用いて求められることがわかる. そのような微分方程式を具体的に求めたところ, 量子力学との思わぬ関連を見出いした. 我々の微分方程式をシュレーディンガー方程式と同じ形に書き直すと, ハミルトニアンに相当する演算子は（エルミート演算子ではないにも関わらず） ふたつの独立な調和振動子と同じスペクトルを持つことが分かった. この結果は, 我々が表現論を用いて導いた微分方程式が高階の時間導関数を含む力学系と関連していることを示唆しており, 高階導関数の理論を研究する物理学者の興味を引いている.
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| 今後の研究の推進方策 |
当初の計画にはなかったが, 我々は共形ガリレイ対称な微分方程式と量子力学の思わぬ関連を見出した. なぜこのような関連があるのか, このような関連は他の共形ガリレイ対称な微分方程式でも見出せるのかというのは興味ある問題である. そこで, 次年度の始めはこの問題に集中したいと思っている. その後, 共形ガリレイ群の表現論に取り組む予定である.
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