| 研究課題/領域番号 |
26400421
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| 研究機関 | 神奈川大学 |
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研究代表者 |
窪谷 浩人 神奈川大学, 工学部, 教授 (60281143)
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| 研究分担者 |
戸田 幹人 奈良女子大学, 自然科学系, 准教授 (70197896)
足立 聡 東京工業大学, 理工学研究科, 助教 (90211698)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 量子絡み合い / 量子カオス / ランダム行列理論 / Schmidt固有値 |
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| 研究実績の概要 |
我々の先行研究により、十分に発達したカオス動力学を持つ系では、時間発展する状態に形成される量子絡み合いが完全にランダムな統計的普遍性を獲得することが示された。ここで着目している統計的性質は、時間発展する一つの状態を一定時間間隔ごとにサンプリングすることによって得られる量子状態の標本におけるものである。
本研究の目的は、この先行研究を進め、強いカオスでない場合、つまり、弱い量子カオス系や可積分系などにも、動力学的に形成された量子絡み合いの統計的性質に普遍性が成立するかどうかを明らかにすることである。さらに、この統計的普遍性の存在を手掛かりに、量子状態の制御法を構築し、また、統計力学の基礎付けを行おうとするものである。
平成26年度の研究実施計画では、（１）強いカオス系において、２つの部分系のHilbert空間の次元が異なる場合に拡大して解析を行うこと。（２）弱いカオス系・可積分系においても同様な統計的普遍性が成立しているかを明らかにすること。
としていた。
実際には、平成２７年度の実施が計画されていた以下のテーマを先行しておこなうこととなった。我々は、最新の論文で、最大Schmidt固有値が、量子絡み合いを形成した動力学の特徴のなごりを検出するために極めて敏感な指標となりうる可能性を指摘した。これを確認する準備として、固定跡複素ランダム行列の最大Schmidt固有値の分布関数の解析を行い、解析的な関数形（多項式）を導出することに成功した。現在、これを、量子カオス系で実測した最大Schmidt固有値の分布関数と比較する解析を行っている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の目的の一つは、十分に強いカオスによって形成された量子絡み合いで見つかった統計的普遍性がどこまで広がっているのかを明らかにすることである。
我々の先行研究は、弱いカオス系からカオス性を強めていくと、選択した表示によらない量子絡み合いの指標であるSchmidt固有値の一体分布関数がランダム行列のそれに近づいていくことを示している。さらに詳細な解析により、Schmidt固有値の一体分布関数のずれは最大のSchmidt固有値において有意に大きいことも示されている。その結果は、系のカオス性が強まるに従いSchmidt固有値がランダムな統計性を獲得していくものの、最大のSchmidt固有値に、力学由来であることの痕跡を残しているという描像を与える。そうだとすれば、十分強いカオス性を有する範囲では、理想的なランダム行列からのずれとの比較には、Schmidt固有値の一体分布関数より最大のSchmidt固有値の分布に注目するのが直接的である。
そこで、われわれは、ランダム行列のSchmidt固有値の一体分布関数の解析的関数形を求めた方法を拡張して、最大固有値の分布関数を解析的に導出しようと試み、これに成功した。
平成２６年度の研究計画では、弱いカオス系または可積分系のSchmidt固有値の統計性の解析に着手する予定であったが、十分に強いカオス系からカオス性が少し弱まった領域の系の統計性を解析するところから着手したことになる。
統計物理学の基礎付けという観点からは、現実の系が持つランダム性が完全ならランダム性からどの程度、どのような性質をもってずれているのかをその領域において明らかにすることは重要である。その解析で基盤となる複素ランダム行列の理論を構築できたことは大きな進展である。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成２６年度の研究成果として、複素ランダム行列の最大Schmidt固有値の分布関数の解析的な関数形（多項式）を得た。
平成２７年度は、その分布関数を利用することによって、弱いカオス系から十分に強いカオス系に近づくに従って、系の最大Schmidt固有値がどのようにランダム行列のものに近づくかを解析する計画である。Schmidt固有値が最大となる絡み合う状態は、量子確率が最大となる量子相関を持っているということであり、力学過程がいかに量子絡み合いを形成するかという解釈上重要であるばかりでなく、量子絡み合いを利用した量子制御の観点からも重要である。
さらに、平成２７年度の後半には、平成２６年度に実施予定していた、弱いカオス系・可積分系に対応するランダム行列理論の構築にとりかかりたい。弱いカオスに対しては、固定跡アンサンブルに少数のパラメータを組み込み、うまく変形したアンサンブルを作成し、それに対応するランダム行列理論を構築することが必要になるだろう。また、回帰的で予測可能な振る舞いをする可積分系に対しては、初期条件による平均化を施すことにより共通した統計的特徴をSchmidt固有値に見出せることを期待している。以上のような方策での研究を実施したい。
最終年度の平成２８年度には、動力学的に形成された量子絡み合いの統計的普遍性の応用として、 量子推定や量子制御の問題に着手したい。
２自由度の純粋量子状態の密度行列に対して第２番目の自由度の粗視化を行うと、第１番目の自由度の縮約密度行列が得られ、この縮約密度行列の対角化固有値は、まさしくSchmidt固有値の絶対値の２乗である。このテーマは、全系が量子絡み合いの統計的普遍性を獲得していることを所与として、縮約密度行列からどれだけ全系の情報を引き出せるかという逆問題を解こうというものである。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究の進捗度を見計らい研究分担結果を検討するため研究代表者と研究分担者とが集って打ち合わせを行っている。そのため旅費を支出している。２０１４年度は、８月、１２月、３月に実施し、２０１５年度初回は、５月に計画している。年度の区切りでみると、２０１４年度は想定より１回程度少なかった。
また、研究計画上の順番変更があり、２０１４年度内に計算機環境の整備を完了する必要がなかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
２０１５年度は、すでに研究打ち合わせが必要となっており、出張旅費の増額が必要となりそうである。研究打ち合わせのための旅費に支出する計画である。
また、本研究では、波動関数の時間発展シミュレーションを行う。統計的な解析用のデータは５ＴＢに及ぶ。ファイル・サーバーの整備が急務になっている。これに充てたい。
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