| 研究実績の概要 |
primitively generatedなconformal代数の圏と非負の整数で次数付けされたprimitively generatedなfiltered Lie環の圏が圏同値であることを証明することを目的とする研究を実施した。これにより，無限加算個の2項演算に関する公理系で定義されていたconformal代数をLie環(ただ一つの積を持つ)の公理系で表現することが可能になる。当該研究では自然な条件を備えたconformal代数と一変数多項式環のテンソル積がconformal代数の2項演算から定義されるただ一つの2項演算が歪対称性とJacobiの関係式をみたす，つまり，Lie環を定義することを証明することを第一の目的とした。このようにして構成されるLie環はLie環sl(2,C)を微分とし，非負整数で次数付けされ，かつ，この次数付けに関して次数付きLie環であることが期待される。またLie環sl(2,C)が作用しているのでいづれかの昇降演算子の核に属する要素(Primitive要素という)で生成されることを証明した。
primitively generatedなconformal代数の圏と非負の整数で次数付けされたprimitively generated filtered Lie環の圏の圏同値である。この結果から，階数有限なconformal代数の表現の圏は階数有限なLie環の表現の圏と圏同値であり，階数有限なconformal代数の表現の分類をLie環の表現に帰着させることができる。また，成果は階数無限な場合にも適応できるので，この場合のconformal代数の表現の分類に有効である。さらに，この成果はsuper conformal代数の場合にも自然に成立すると思われるので，この事実を用いてV. Kacの分類結果を再度検証することができる。
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