| 研究課題/領域番号 |
26610012
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
永野 幸一 筑波大学, 数理物質系, 講師 (30333777)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 幾何学 / リーマン幾何（含幾何解析） / CAT(k)空間 / アレキサンドルフ空間 / ホモロジー多様体 |
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| 研究実績の概要 |
平成26年度は，CAT(k)ホモロジー多様体に対するリーマン構造の研究を行い，将来の目標に備えてリーマン幾何学的な手法の整備に努めた．ホモロジー多様体（一般化多様体）がCAT(k)であれば，局所コンパクトであり，測地的完備である．最近のLytchak-研究代表者の一連の共同研究により，任意の局所コンパクト測地的完備なn次元CAT(k)空間Xに対して，（弱い意味で）X上に自然なn次元DC級微分可能構造と，それに付随する局所BV級リーマン構造が存在することが分かっている．ここで，関数がDC級であるとは2つの凸関数の差として表されるときにいい，局所BV級とは局所的に有界変動であるときにいう．さらに，Xがホモロジー多様体であれば，幾何学的特異点集合のハウスドルフ次元はn-2以下であり，位相的特異点集合は局所有限であることが分かっている．当該年度は，次の研究成果を得た．
定理．n次元CAT(k)ホモロジー多様体X上には，（弱い意味で）X上に自然なn次元DC級微分可能構造Dと，それに付随する局所BV級リーマン構造Gが存在し，Gから定まるリーマン弧長距離構造は元々のXの距離構造と（弱い意味で）一致する．
本研究成果は，大津・塩谷（J. Differential Geom., 1991），Perelman（preprint），および桑江・町頭・塩谷（Math. Z., 2001）による曲率が下に有界な境界のないn次元アレキサンドルフ空間に対する微分構造の研究の類似ともみなせる．定理の証明では，幾何学的特異点集合のハウスドルフ次元はn-2以下であることと，位相的特異点集合が局所有限であることを効果的に用いる．本研究成果は，Lytchak-研究代表者の一連の共同研究に基づくものであり，共著論文の中で発表する予定である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当該研究課題の当初の研究実施計画において，平成26年度は「研究実績の概要」欄で述べたCAT(k)ホモロジー多様体のリーマン構造に関する定理を解決するとともに，そこで得られる構造に基づいてX上で測度距離空間としての微分積分学を展開し，ホモロジー多様体に関する安定性に関する研究を行う予定であった．したがって，当初の計画と比較して，「やや遅れている」と評価する．
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| 今後の研究の推進方策 |
平成27年度は，「研究実績の概要」欄で述べたCAT(k)ホモロジー多様体のリーマン構造に関する定理を含む研究論文を執筆する．また，次のホモロジー多様体に関する安定性に関する予想について研究する．
予想A．局所コンパクト測地的完備な点付きCAT(k)空間の列(X_i,x_i)が，点付きホモロジー多様体(X,x)に点付きグロモフ・ハウスドルフ位相で収束すれば，十分大の任意のiに対して，(X_i,x_i)は点付きホモロジー多様体であろう．
さらに，次のCAT(k)空間の無限小位相正則性の問題に取り組む．
予想B．局所コンパクト測地的完備なn次元CAT(k)空間の点がn次元多様体点であることと，その点における方向空間が(n-1)次元球面とホモトピー同値な(n-1)次元ホモロジー多様体であることは必要十分であろう．
以下では，予想Bに対する解決のアイデアを述べる．局所コンパクト測地的完備なCAT(k)空間の点xに対して，点xにおける方向空間が(n-1)次元球面とホモトピー同値な(n-1)次元ホモロジー多様体であると仮定する．このとき，点xにおける接錐はn次元ホモロジー多様体であることが分かっている．点xのまわりの拡大空間列(iX,x)は点xにおける接錐に点付きグロモフ・ハウスドルフ位相で収束する．この収束に関して予想Aを適用すると，点xを中心とする十分小の開距離球体Bはn次元ホモロジー多様体である．Lytchak-研究代表者の研究により，B内の位相的特異点は局所有限である．点xにおける方向空間は(n-1)次元球面とホモトピー同値であることから，1点集合{x}は局所余単連結（1-LCC）であることが分かる．幾何学的トポロジーでよく知られている事実より，xはn次元多様体点である．以上に述べたアイデアの要点は，予想Aの解決である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当該研究課題に関わる情報収集や研究打ち合わせなどのため海外出張を計画していたが，次年度以降に直接経費を繰り越して海外出張を計画し実行する方が，当該研究を円滑に遂行する上で，より柔軟に効果的に活用できると判断した．
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| 次年度使用額の使用計画 |
当該研究課題に関わる情報収集や研究打ち合わせなどのため，海外出張を計画して実行できるように努める．また，海外出張を企画する際には，今回の直接経費の繰り越し分を合わせることによって，当該研究を円滑に遂行する上で，より有意義な，より効果的な出張となるように計画を行う．
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