| 研究課題/領域番号 |
26610012
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
永野 幸一 筑波大学, 数理物質系, 講師 (30333777)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 幾何学 / リーマン幾何(含幾何解析) / CAT(k)空間 / アレクサンドルフ空間 / ホモロジー多様体 |
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| 研究実績の概要 |
平成28年度は，昨年度に引き続きCAT(k)ホモロジー多様体に関する理論を整備しながら，CAT(k)空間の無限小位相正則性について研究を行った．従来のLytchak-研究代表者の位相正則性定理によって，局所コンパクトで測地的完備なCAT(k)空間Xのn次元多様体点の方向空間は，(n-1)次元球面とホモトピー同値な(n-1)次元ホモロジー多様体である．さらに，Xの任意の点の方向空間が(n-1)次元球面とホモトピー同値な(n-1)次元ホモロジー多様体であれば，Xはn次元位相多様体である．今年度は，次の無限小位相正則性定理を証明した．
定理．局所コンパクトで測地的完備なCAT(k)空間の点がn次元多様体点であることと，その点での方向空間が(n-1)次元球面とホモトピー同値な(n-1)次元ホモロジー多様体であることは同値である．
定理の証明のアイデアは次の通りである．局所コンパクトで測地的完備なCAT(k)空間Xの点xに対して，点xにおける方向空間が(n-1)次元球面とホモトピー同値な(n-1)次元ホモロジー多様体であると仮定する．このとき，点xにおける接錐はn次元ホモロジー多様体である．点xのまわりの点付き拡大空間列(iX,x)は点xにおける接錐に点付きグロモフ・ハウスドルフ位相に関して収束する．この収束に対して，昨年度に報告したLytchak-研究代表者によるCAT(k)ホモロジー多様体に対する安定性定理を適用すると，点xを中心とする十分小の開距離球体Bはn次元ホモロジー多様体である．また，B内の位相的特異点は局所有限である．点xにおける方向空間が(n-1)次元球面とホモトピー同値であるので，1点集合{x}はB内で局所余単連結であり，xはn次元多様体点である．本研究成果は，Lytchak-研究代表者の一連の共同研究に基づくものであり，一連の共著論文の1つとして発表する予定である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当該研究課題の当初の研究実施計画において，「研究実績の概要」欄で述べたCAT(k)空間に対する無限小位相正則性の問題は本来昨年度までに解決する予定であり，今年度は次の4次元CAT(0)位相多様体の端の問題の解決に取り組む予定であった．
予想．4次元CAT(0)位相多様体は4次元ユークリッド空間と同相であろう．
しかしながら，この4次元CAT(0)位相多様体の端の問題の解決には至らず，先送りする形となった．また，本研究は挑戦的萌芽研究ではあるが，研究成果を含む研究論文の執筆が遅れている．今年度中に研究を総括する予定であったが，その他の業務も重なり，研究遂行に時間を要している．研究成果はLytchak氏（ケルン大学）との共同研究を含んでおり，研究打ち合わせのための海外渡航を翌年度に延期することが，研究目的を精緻に達成する上で最適であると判断して，補助事業期間延長の申請を行った．
その一方で，「研究実績の概要」欄で述べたCAT(k)空間に対する無限小位相正則性定理は，証明のために緻密な議論を要する挑戦的な成果であり，CAT(k)空間の幾何学的トポロジーの萌芽となり得る汎用性の高い研究である．研究成果の発表には，多くの時間を要することも止むを得ないと考える．以上に述べた理由によって，当初の計画と比較して「やや遅れている」と評価する．
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| 今後の研究の推進方策 |
補助事業期間延長の申請を認めていただいたので，平成29年度は最終年度として本研究を総括する．まず，「研究実績の概要」欄で述べたCAT(k)空間に対する無限小位相正則性定理を含む研究論文を執筆する．研究成果はLytchak氏との共同研究を含んでおり，研究打ち合わせのための海外渡航を企画する．さらに，「現在までの進捗状況」欄で述べた予想の解決に取り組む．このため，次のCAT(k)ホモロジー多様体の距離球面の距離球面に関する予想について研究を行う．
予想A．n次元CAT(k)ホモロジー多様体の任意の距離球面上の任意の点において，距離球面の十分小さい半径を持つ距離球面は(n-2)次元ホモロジー多様体であろう．
加えて，次の4次元CAT(0)位相多様体の距離球面の位相正則性の問題の解決に取り組む．
予想B．4次元CAT(0)位相多様体において，任意の距離球面は3次元位相多様体であろう．
以下では，「現在までの進捗状況」欄で述べた予想に対する解決のアイデアを述べる．距離球面の距離球面は，2つの1点からの距離関数の組からなる写像のファイバーである．このような写像のファイバーは，局所的には位相的に良い性質を持つことが分かりつつある．もし予想Aが肯定的に解決できれば，予想Bの問題に予想Aを適用すると，距離球面の十分小さい半径を持つ距離球面は2次元ホモロジー多様体であり，特に2次元位相多様体である．よって，距離球面の近傍は2次元位相多様体によってスライス化されていると言って良いであろう．このスライス化に対して，Daverman-Prestonのスライス分解定理（1980）を用いれば，予想Bを証明することができるであろう．もし予想Bが肯定的に解決できれば，P. Thurstonの研究（1996）を経由すれば，4次元CAT(0)位相多様体が4次元ユークリッド空間と同相であることを結論付けることができる．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度中に本研究を総括する予定であったが，その他の業務も重なり，研究遂行に止むを得ず時間を要している．研究成果はLytchak氏（ケルン大学）との共同研究を含んでおり，研究打ち合わせのための海外渡航を翌年度に延期することが，研究目的を精緻に達成する上で最適であると判断して，補助事業期間延長の申請を行い，認めていただいた．
以上のような事情もあり，翌年度に直接経費を繰り越す方が，当該研究を円滑に遂行する上で，より柔軟に，より効果的に活用できると判断した．
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| 次年度使用額の使用計画 |
当該研究課題に関連する情報収集や研究打ち合わせなどのため，国内出張および海外出張を計画して実行できるように努める．また，海外出張を企画する際には，当該研究を円滑に遂行して目的を精緻に達成するために，より有意義で，より効果的な出張となるように計画を立案する．
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