| 研究課題/領域番号 |
26610024
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
盛田 健彦 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00192782)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 葉層付き空間 / 各葉拡散過程 / 確率解析 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は当初の計画通り主に葉層付き空間上の確率微分方程式の強い意味の解として得られた各葉拡散過程に対して、Malliavin 解析の類似を考えるための準備を行った。具体的には、まず、通常の滑らかな多様体上の確率微分方程式の解が定める Wiener 汎関数の正則性や、密度関数についての様々な評価式に関して、これまで知られている研究結果の資料を収集し、葉層付き空間上の確率微分方程式の解として定まる各葉拡散過程に対してこれらの結果の類似をどのように定式化することが適切であるかを検討した。各葉が有限幾何条件を満たすコンパクト葉層付き空間では、葉毎に通常の多様体上の議論と同様な拡散過程が確率流のレベルで得られるが、横断方向の正則性については確率連続以上には期待できない状況となるため、空間全体における確率流を想定した枠組みを期待することはできない。結局、当初想定した葉毎に通常の議論を適用し、断熱された拡散過程の族として扱う方法が現状では最も有効であろうという結論に達した。
S. Watanabe によるWiener 汎関数の漸近展開理論を手本としてパラメータ付きの各葉Wiener 汎関数の漸近展開理論についても概要をつかむことはできたが、本格的な検証作業は次年度に行う。
一方、Malliavin 解析の類似を考える上で確率流の解析も重要であることが知られている。この立場から、本研究以前から行っていた写像のランダム合成の極限についても再考し、結果の一部について数理解析研究所講究録1942巻に掲載の論文において発表した。
その他、本研究の技術面での副産物として得られた手法を転送作用素に応用することによって，力学系の極限定理についても若干の結果を得て、2016年１月に慶應義塾大学で開催された Seminar in Ergodic Theory - Keio 2016 の招待講演で報告した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
通常の可微分多様体上の確率微分方程式の解に関するMalliavin解析による諸結果に関わる資料収集については多くの基本的な文献を確認することができた。それによって葉層付き空間上の各葉拡散過程に関して既存の結果の類似を自然な形で定式化し証明していく道筋がかなり明らかになった。
葉層付き空間上のパラメータ付きWiener 汎関数の漸近展開についても基本的な理論を準備する作業に入ったが本格的な研究については次年度に持ち越した。しかしながら、漸近展開の定式化の基本方針についてはほとんどかたまっていること、漸近展開の理論部分については計画当初より３年目にもっていくことも念頭において計画を立てていたこと等から、研究の進捗度の観点からも研究遂行の観点からも問題はない。
次年度において葉層付き空間における Gauss-Bonnet-Chern の定理の類似を得るための研究を遂行することになるが、そのための準備は概ね整えることができたと思われる。
本研究自体の成果の発表ということは挑戦的萌芽研究ということもあり現状では容易ではないが、確率流と極限定理の関係で写像のランダム合成などの他の研究に、本研究の技術的な副産物を応用することで、ランダム力学系の漸近挙動に関する研究代表者自身による過去の結果を再考し改良することができた。また、転送作用素を用いた極限定理証明法においても解析的摂動論の観点からあらたな手法への糸口を得ることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
各葉が有限幾何条件を満たすような葉層付き空間の場合に Gauss-Bonnet-Chernの定理の類似を重点的に扱う。まず、葉層付き空間上のパラメータをもった Wiener 汎関数に関する漸近展開を厳密に定式化し、正規直交標構束上の各葉確率微分方程式の基本解の短時間における漸近挙動の解析に応用する。
各葉については全空間のコンパクト性から一様な有限幾何条件が成立している。各葉において断熱状態にある拡散の族が与えられた状況となるが、各葉においてGauss-Bonnet-Chern の定理の類似を考えて、そこで一旦積分をしてしまうと葉自体はコンパクトとは限らないため、即、発散の問題が発生する。また、葉については通常の次元の概念があるが、全空間はせいぜいコンパクト距離空間にすぎないため次元についても注意を要する。
前者の問題については、各葉の体積要素で積分してその後に何らかの意味で横断方向での積分をとるというような手法は使えないが、L. Garnett によって導入され A. Candel によって最終的に正当化された各葉拡散過程に関する調和測度を代替物と考えることによって大域的な対応が可能となると期待される。
後者については、まず、葉層多様体の場合に葉の次元が目標の定理の証明途中においてどのような役割を演ずるのかということを注意深く観察する必要がある。場合によっては、全空間になんらかの条件を課す必要に迫られる可能性も想定している。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
初年度に旅費に重点を置いたことを念頭において、確率論、力学系、幾何学に関連する図書に初年度分も考慮して予算支出多めに行う予定であったが、既存の結果の資料収集作業が多かったこともあり、新刊で必要なものが予定よりは少なくすんだこと。これに加えて今年度は遠方への出張が少なく、研究連絡についても対面で議論する必要性が少ない内容のものが想定外に多かったことによる。
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| 次年度使用額の使用計画 |
現在研究発表やその準備に使用しているノートパソコンが、ハード面でもOS面でも老朽化していることから、適当な機種に変更することを検討せねばならない時期になっている。急なトラブルに備えて研究成果発表やその準備に支障が生じないようにこの機会に次年度の当初計画予算に加えて、そのための予算として割り当てることを考えている。
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