| 研究課題/領域番号 |
26610025
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
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| 研究分担者 |
平岡 裕章 東北大学, AIMR, 准教授 (10432709)
樋口 雄介 昭和大学, 教養部, 講師 (20286842)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | パーシステントホモロジー / ランダム複体 / エルデシュ・レンニランダムグラフ / リニアル・メシュラム複体 / ランダムセル複体 |
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| 研究実績の概要 |
パーシステントホモロジーは2000年頃から応用分野を中心にデータ解析の手法の一つとして使われて始めた比較的新しい理論である．複体の増大列(フィルトレーション)に対して定義されるパーシステントホモロジー論を調べることによりホモロジー類のみならずその時間的な発展を詳しく理解することができる．点データからはある手続きでフィルトレーションを構成することにより，点データの位相的性質を調べることが可能である．データ解析であらわれるデータにはノイズが入っているのでランダム点データを取り扱うことになる．ランダムな点データに対してはランダムなフィルトレーションが対応するため，本研究ではランダムフィルトレーションの研究を行っている．26年度はランダム複体のパーシステント図における一般論と特にエルデシュ・レンニランダムグラフの拡張であるリニアル・メシュラム複体のパーシステント図の汎関数の研究を行ったが，27年度はその研究を踏まえてランダムベルヌイセル複体についてその全域非輪体とパーシステント図における生存時間の和についての研究を行った．ランダムベルヌイセル複体はd次元格子上のベルヌイボンドパーコレーションの問題の自然な複体への拡張で，d次元格子スケルトンに(d-1)-単体をランダムに貼ったものである．ベルヌイボンドパーコレーションでこれまで知られている結果を拡張するためには，まず問題設定自身を適切に行う必要がある．今年度の研究ではその設定をするための準備的な研究として，ランダムベルヌイセル複体とランダムクラスター測度とのカップリングについての考察および相関不等式についての考察を行った．特に高次元のパーコレーションの適切な問題設定とその解決は今後の研究に重要な意味を持つことが期待される．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
リニアル・メシュラム複体の場合について行ったパーシステントホモロジーの平均生存時間についての考察をクリーク複体過程に対して行ったが現在の所最善の結果には到達していない．そのかわり視点をかえてランダムセル複体について考察を行ないその平均生存時間については最善の結果を得たため．
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| 今後の研究の推進方策 |
クリーク複体のパーシステントホモロジーに関しては引き続き研究を行なう．またこれまで得られたランダム抽象単体複体に対する研究により得られた知見を利用して，幾何学的ランダムグラフや幾何学的ランダム複体に対するパーシステントホモロジー(パーシステント図)に対する解析を行う予定である．
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