| 研究課題/領域番号 |
26610028
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
俣野 博 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (40126165)
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| 研究分担者 |
奈良 光紀 岩手大学, 人文社会科学部, 准教授 (90512161)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | バイドメインモデル / 平面波 / 安定性 / スペクトル解析 / 擬微分方程式 |
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| 研究実績の概要 |
バイドメインモデル(bidomain model)は，心臓の電気生理を記述する最も標準的な数理モデルとして医学や心臓生理学の分野に広く応用されている．このモデルは，古典的なHodgkin-HuxleyやFitzHugh-Nagumo方程式などの反応拡散系と種々の類似点があるが，方程式の主要部がラプラシアンでなくバイドメイン作用素と呼ばれる擬微分作用素であるため，通常の拡散方程式とは際だった違いがある．バイドメインモデルは，応用上の重要性にもかかわらず，解の性質に未知の部分が多く，系統だった理論的研究は極めて少ない．本研究は，バイドメインモデルの解の特質を定性的観点から解明することを目指すものである．
平成２６年度は，双安定型非線形項をもつバイドメインAllen-Cahn方程式に現れる平面波の線形安定性を研究し，多くの新しい知見が得られた．まず，古典的Allen-Cahn方程式（拡散方程式）の場合，あらゆる方向の平面波が安定であるが，バイドメインAllen-Cahn方程式の場合，平面波が不安定になり得ることを示した．また，ある方向θの平面波が長波長摂動に関して安定であることと，バイドメイン作用素の非等方性を特徴付けるFrank図形が角度θの近傍で凸であることが同値であることを証明した．よって，長波長摂動に関する平面波の安定性は，方程式の係数から定まるFrank図形で完全に特徴付けられることがわかった．
次に，中波長摂動に関する安定性の研究も行い，その結果と長波長摂動の結果を組み合わせることにより，あるパラメータ領域では，あらゆる方向の平面波が不安定になるという驚くべき結果が得られた．以上の研究は，バイドメイン作用素を表すFourier積分作用素のスペクトルの解析により得られた．この成果は森洋一朗氏との共著論文として国際雑誌に投稿し，現在査読が行われている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成２６年度は，①「バイドメインAllen-Cahn方程式に現れる平面波の線形安定性の研究」が中心課題であり，これに加えて，②「ギザギザ波面の性質」の準備研究，③「非線形適切性」についての準備研究，③「広がり波面」の準備研究を行う予定であった．上で述べたように，中心課題である①について予想していた以上のめざましい成果が得られた．この研究に時間がかかったため，②，③，④の準備研究に回す時間は少なくなったが，②のギザギザ波面の数値計算は，ある程度のデータを蓄えることができた．また，③，④の準備研究も始めた．とりわけ，④の研究の基礎となるFrank図形とWulff図形の基本性質について，かなり理解を進めることができた．全体としてみると，研究はおおむね順調に進んでいるといえる．
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| 今後の研究の推進方策 |
平面波の線形安定性について多くの知見が得られたので，次は，平面波の非線形安定性の研究，そしてコンパクトな初期値から出発した解の広がり波面の研究に力を入れたい．これらの研究を進めるためには，まず，全平面で定義されたバイドメインAllen-Cahn方程式の適切性（つまり，解の存在と一意性，および初期値に対する連続依存性）を示す必要がある．有界領域の場合，すでに幾つかの先行研究があり，部分的な適切性の結果が得られているが，全空間の場合の結果は皆無である．現在，解析半群の理論を用いて，この問題の解析を進めている．通常の拡散方程式と異なり，基本解の遠方での減衰が遅いので，いくつかの困難があるが，今年度中に解決できると考えている．
また，広がり波面については，形状がFrank図形の共役凸図形であるWulff図形に近づくことが予想される．この予想の解決のために，今年度は数値計算を数多く行う予定である．
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