| 研究課題/領域番号 |
26610034
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| 研究機関 | 一橋大学 |
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研究代表者 |
齊木 吉隆 一橋大学, 大学院商学研究科, 准教授 (20433740)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 力学系 / カオス / 不安定周期軌道 / カオス的遍歴 / 準周期軌道 |
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| 研究実績の概要 |
カオス的遍歴は明確には数学的に定義されていない複雑現象であるが、脳科学、レーザーをはじめ、多くの分野で観察されてきた。一般に高次元力学系に典型的な現象と考えられているが、平成２７年度は、カオス的遍歴のミニマルモデルとも言うべきある種の２次元トーラス写像を研究した。この力学系はサドルとリペラーを持ち合わせており、ひとつの方向は常に拡大的、もうひとつの方向は拡大的なところと縮小的なところが共存している。この種の構造に由来して間欠的なふるまいを引き起こす。本研究では、この間欠性ダイナミクスの背後に存する数学的構造を調べたところ、不安定な準周期軌道が重要な役割を果たしていることがわかった。すなわち、準周期軌道の存在によってトーラスでサドルとリペラーが稠密となり、不安定次元の異なるそれらの共存によって間欠的なふるまいが引き起こされることがわかった。また、準周期軌道の存在を数値的に確認するための研究を進めるうちに、準周期軌道上のバーコフ平均を高速で計算するフィルターを見出した。通常のバーコフ平均は収束が遅い(軌道長Nとして1/Nのオーダーの収束)ために実用性に乏しかったが、本研究で提案した無限回連続微分可能なフィルターを用いると理論値としては軌道長Nとして(1/Nに関する任意の多項式)のオーダーの収束を得ることができる。Nがそこまで大きくない状況でも(1/(Nの20乗))程度のオーダーの収束が得られるため、実用性が高く、バーコフ平均として計算されるリアプノフ指数やフーリエ級数の計算の高速化が実現可能となった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
カオス的遍歴のミニマルモデルとも言うべきある種の２次元トーラス写像を研究した結果、不安定準周期軌道が重要な役割を果たしていることがわかった。すなわち、準周期軌道の存在によってサドルとリペラーがトーラスで稠密となり、間欠的なふるまいを示すことがわかった。また、準周期軌道の存在を数値的に確認するための研究を進めるうちに、準周期軌道上のバーコフ平均を高速で計算するフィルターを見出した。
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| 今後の研究の推進方策 |
間欠性、カオス的遍歴などの複雑ダイナミクスを示す高次元力学系で、準周期軌道がその種のダイナミクスの背後で働いている例を見出す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
共同研究者であるメリーランド大学のJames A Yorke教授を3月に訪問する予定で居たが、先方と日程が合わず、延期した。
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| 次年度使用額の使用計画 |
前年度計画していたものの延期していたメリーランド大学 James A Yorke教授の訪問を今年度に実施する。
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