| 研究実績の概要 |
複素数体上の完備直交デザインの族は，本研究代表者が，量子ジャンプ符号を数学的に定式化して導入した概念であり，t-MOD (Mutually orthogonal partial t-designs)と名付けられている．本研究の研究開始時には，t-MODは0,1を複素数にまで拡張した概念であり，その存在は古典的な{0, 1}-結合行列をもつt-MOD(特にt-SEEDと呼ばれる）の存在より広い範囲で存在するであろうと考えていたが，必ずしもそうではなく，本研究の研究期間を通して，下記の成果が得られた．
【平成26，27年度の成果】（１）t-MODの組合せ構造について，t-SEED({0,1}のt-MOD)の数がAlber, Beth et al. による上限を達成する場合には，t-SEEDは, large setと呼ばれる組合せ構造の存在と同値であることを示した．（２）複素数体上のt-MODについて，t=k-1が偶数で，ブロックサイズがk=(n-1)/2の場合に，上限を達成する(完備)t-MODの非存在を示した．（３）n=10の場合に複素球面上の完備1-MODの構成法を与えた．また，その構成法にある種のdifference matrixが用いられることを見出した．このdiffernce matrixの構成法について計算機を用いていくつかの結果を得た．
【最終年度（平成28年度）の成果】アフィン幾何を用いた2-SEEDの構成法を以前得ているが，その構成法を射影幾何の直線からなる巡回軌道の分解問題にも適用し，1-SEEDの無限系列を得た．また，その分解問題に巡回群の直和分解が関連していることを明らかにし，より一般的な組合せ構造との関係を示した．さらに，巡回群の多重分解問題の研究も行い，lcm-closureの概念を導入して，これまで知られているより広い条件での分解可能性定理を与えた．
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