| 研究実績の概要 |
研究計画に従って、ネフ接束をもつファノ多様体（以下 CP多様体）の研究を行った。本研究の最大の目標はカンパーナ・ペターネル予想（以下CP予想）の解決である。ここで、 CP予想とは「CP多様体は等質多様体である」という予想を指す。これに関連して全ての基本収縮射が非特異P1ファイブレーションであるファノ多様体は完全旗多様体 G/B（Gは半単純代数群、Bはそのボレル部分群）と同型であることを昨年度示し、今年度はそれを論文にまとめた（Fano manifolds whose elementary contractions are smooth P1-fibrations, 投稿中）。この結果は G. Occhetta、L. E. Sola Conde, J. Wisniewski との共同研究である。さらに、CP予想に関して上記３氏とR. Munozと共にサーベイ論文としてまとめた（A survey on the Campana-Peternell Conjecture, 投稿中）。サーベイ論文で扱った内容を一部一般化し、強い uniformity を満たす極小有理曲線族をもつファノ多様体は4種類の等質多様体しかないことを示した。これはG. Occhetta、L. E. Sola Condeとの共同研究である（Uniform families of minimal rational curves on Fano manifolds, 投稿中）。さらに単著として、正標数の場合のCP予想の類似問題を３次元以下の場合に考え論文にまとめた（Low-dimensional projective manifolds with nef tangent bundles in positive characteristic, 投稿中）。また、ピカール数が大きいCP多様体を考察し、論文にまとめた（Fano manifolds with nef tangent bundles and large Picard numbers, 投稿中）。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続きCP予想の研究を行う。Munoz, Occhetta, Sola Conde との共同研究により、完全旗多様体 G/B の特徴付けを用いて、CP予想を射の構成問題へ帰着出来ることが出来ることが分かっている。射の構成問題へ帰着させるという方針は、少なくとも低次元の場合には有効であることが分かっている。特に、最近東京大学の金光秋博氏により、５次元の場合にCP予想が正しいことが我々のこの方針に基づき示された。それらを踏まえ、27年度からは実際に射の構成問題に取り掛かる。
違う方向性としては、CP多様体の構造をシンプレクティック幾何や接触構造を用いて研究したい。接束の射影化 P(T_X) は接触構造をもつ。特に、CP多様体の接束 T_X が big なとき、P(T_X) に付随する tautological 直線束により定まる射は余接束から０切断を除いた多様体のもつシンプレクティック収縮射から導かれる。そこで、シンプレクティック幾何や接触多様体の観点からCP多様体を考察することが可能である。
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