| 研究実績の概要 |
多元環の最も基本的かつ重要なクラスとして道多元環及び前射影多元環がある.これらは多元環の表現論だけでなく,代数幾何学や量子群とも関連を持ち,活発な研究対象の一つである. 今年度のひとつの成果として,研究目的のひとつでもあったこれらの一般化であるn無限表現型多元環及びその高次前射影多元環の研究がある.
以下は山浦氏(山梨大学)との共同研究に基づく.
n無限表現型多元環とは,古典的重要クラスである無限表現型多元環の一般化で,様々な良い性質を持つ事が知られている.しかし一方で,その具体的構成方法にかんしてはほとんど知られていなかった.この共同研究では,古典的手法であるAPR傾加群を一般化した傾加群を用いる事で,その自己準同型環によってn無限表現型多元環を構成出来る事を示した.傾加群は一般に導来圏同値を導く事が知られており,それゆえこれらの多元環は導来同値である事も分かる.さらにそこで構成した傾加群が,高次前射影多元環上の別の傾加群を与える事を示した.n無限表現型多元環の高次前射影多元環はCalabi-Yau多元環になり,この多元環は様々な方面から研究されている研究対象のひとつである.上記の方法によって,Calabi-Yau多元環上の傾加群を与え,またその自己準同型環が再びCalabi-Yau多元環になるという事も示した.さらに特にn=1またはn=2の場合には,多元環の箙と関係式についても明確な記述を与える事に成功した.
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