| 研究課題/領域番号 |
26800020
|
|---|
| 研究機関 | 琉球大学 |
|---|
研究代表者 |
橋本 康史 琉球大学, 理学部, 助教 (30452733)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
|
| キーワード | 跡公式 / セルバーグゼータ関数 / 不定値2元2次形式の類数 |
|---|
| 研究実績の概要 |
前年度の研究業績であり、国際学術誌に投稿していた、不定値2元2次形式の類数の部分和の漸近的評価の論文については、査読者の指摘により証明に若干の不備が見つかった。その不備はすでに解消され、さらに主結果の系として新たに漸近公式がひとつ得られたので、それらを改めてまとめたうえで、再び国際学術誌に投稿する予定である。
また、前年度に得られた成果である、合同部分群に関するセルバーグゼータ関数の実軸上の値の評価も改良することができた。前年度の時点では、非絶対収束域の限られた範囲でのみ評価が行われていたが、非絶対収束域におけるセルバーグゼータ関数を、従来のものとは別の形の素測地線に関する極限公式を用いて記述し、それに素測地線定理の誤差項評価を利用することで、離散的にあらわれる例外的な点を除くすべての実軸上の点において、セルバーグゼータ関数の評価を行うことができた。この成果については、すでに国内の研究集会で発表済みであり、論文にまとめて国際学術誌への投稿する予定である。
加えて、モジュラー群とcommensurableな極大な離散群とその合同部分群から得られる非コンパクトなリーマン面と、不定値四元数環の極大な単数群から得られるコンパクトリーマン面に関するlength spectrum が合同部分群と同様に数論的に記述できることがわかった。より明示的な記述が得られ次第、研究集会での発表と学術誌への投稿を予定している。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
従来の27年度以降の計画としてあげていた2次元双曲多様体におけるlength spectrum の数論的表示の一般化については、現在のところ、モジュラー群とcommensurableな極大な離散群とその合同部分群から得られる非コンパクトリーマン面、および、不定値四元数環の「極大な」単数群から得られるコンパクトリーマン面が、合同部分群と同様に数論的に記述できることがわかった。現在、より明示的な表示を得るために研究中である。一方で、モジュラー群の非合同部分群については、群の構造が合同部分群と異なり、いまだ数論的な表示を得るに至っていない。また、3次元双曲多様体については、虚2次体上のモジュラー群の合同部分群に依って得られる多様体に関するlength spectrum が一般的に数論的にあらわされることがわかった。加えて、実2次体から得られる高階数多様体についても、同様の性質があると考えられるが、明示的な表示を得るには至っていない。
スペクトルゼータ関数については満足できる成果が得られているとはいえないが、その一方で、ヘッケ作用素に関する跡公式において有用な類数和に関する漸近公式が得られており、さらに、合同部分群に関するセルバーグゼータ関数の値の評価を実軸上の値を全非絶対収束域に拡張することができた。
以上、順調に進展していない部分があった点と期待以上の成果があった点を総合的に判断し、「おおむね順調」の自己評価とする。
|
| 今後の研究の推進方策 |
length spectrum については、モジュラー群とcommensurableな極大な離散群とその合同部分群に対して、数論的な表示があることがわかったので、今後はそれを明示的に初等的な形で記述し、素測地線分布の様子を調べる。非合同部分群については、その群の構造が合同部分群と比べて難しいので、ひとまずサイクロイド群のような比較的わかりやすそうないくつかの例について調べ、一般化を目指す。
27年度には、合同部分群に関するセルバーグゼータ関数の値の評価を、素測地線の長さの和に関する極限公式を導き、素測地線定理の誤差項評価を利用して、全非絶対収束域内の実軸上に拡張することに成功した。今後は、この評価を精密化するとともに、実軸上でない点に拡張する。とくに、リーマンゼータ関数の値の虚部方向への評価で用いられたある種の指数和評価の手法を利用し、セルバーグゼータ関数の虚部方向への増大度評価を得ることを目標とする。
加えて、ラプラシアンのスペクトル分布については、跡公式とlength spectrum の数論的な表示、そしてセルバーグゼータ関数の値の評価（およびそれに用いられた手法）を利用して、スペクトルゼータ関数の解析性を調べる。とくに非絶対収束域については、素測地線の長さに関する分布がその解析性に強い影響を及ぼしていると考えられるため、セルバーグゼータ関数の評価で用いられた手法はここでも有用であると考えられる。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
購入予定の書籍が数点在庫がなかったためと、年度後半に想定していた他大学の研究者との研究打ち合わせが双方の学内の業務の都合により実現しなかったため。
|
| 次年度使用額の使用計画 |
書籍については、該当するものまたは代替になりうるものをみつけ次第購入する予定である。
研究打ち合わせについては、今年度に行うことを想定しており、日程は調整中である。
|
