| 研究課題/領域番号 |
26800025
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
永井 保成 早稲田大学, 理工学術院, 准教授 (50572525)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 双有理幾何学 / トーリック幾何学 |
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| 研究実績の概要 |
既約シンプレクティック多様体の退化を具体的に構成するための方法として，K3曲面の退化族に対して相対的なn点のヒルベルトスキームを考えたいが，その幾何学的構造は単純ではないことがすぐにわかる．この点に関して，まずは代数曲面の半安定退化に対して相対的なヒルベルトスキームを取った時の局所的な構造，特に特異点の様子を研究した．この問題は当初の想定通りトーリック幾何学の方法によってうまく記述でき，その部分解消に関する結果を得たほか，ヒルベルトスキームがパラメーター付けする0次元部分スキームの長さが2,3の場合に関しては，幾つかの部分解消の間の双有理改変についての明示的な記述を得ている．原理的にはすでに得られた知見から，特異点の重要な不変量である，弦理論的E-関数の計算が可能なのであるが，未だ一般的な公式を得るまでには至っていない．これまでの研究成果について，3月に台湾の台北国立大学で公演を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
代数曲面の半安定退化族に対するヒルベルトスキームの局所構造の研究では当初の想定通りトーリック幾何学による良い記述が得られ，特に予期しなかった特段の困難もなかった．対称群の作用によるコホモロジーへの寄与を局所的に記述する方法についても明らかになってきており，今後の研究を継続するために有用な情報が得られている．よって，本研究は概ね順調に進んでいると言える．
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| 今後の研究の推進方策 |
トーリック幾何を用いた代数曲面の半安定退化の相対的対称積の局所的な構造の分析によって，その特異点や退化ファイバーの様子が具体的にわかってきたので，それらを利用して，さらにその特異点の部分解消を考え，代数曲面の半安定退化の相対的なヒルベルトスキームとの双有理幾何的関連を明らかにしたい．さらに，この局所理論を利用して，K3曲面の Kulikov 退化の相対的対称積から得られる大域的に良いモデルを得ること，あるいはそのコホモロジー的，ホッジ理論的構造の分析へと進んでいきたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
学内の用務などで，2014年度は予定していた出張を全て行うことができず旅費の使用が予定よりも少なかった．
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| 次年度使用額の使用計画 |
米国，ユタ大学で行われる予定の学会に2週間参加予定であり，これによって繰り越された予算が正常に消化される予定である．
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