| 研究課題/領域番号 |
26800026
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| 研究機関 | 立命館大学 |
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研究代表者 |
菊田 俊幸 立命館大学, 理工学部, 嘱託講師 (60569953)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | モジュラー形式 / p進モジュラー形式 / 合同 / Eisenstein級数 / カスプ形式 / Fourier係数 / 整数論 / テータ級数 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では、SerreやSwinnerton-Dyer等が構築した一変数モジュラー形式の「p進理論」や「合同の理論」の、多変数モジュラー形式の場合への拡張、それらのL関数の非可除性への応用、研究代表者等が以前に発見した新しい概念である「mod p特異モジュラー形式」の正体を明らかにすること、などを目指して実行してきた。当該年度においては以下の成果が得られた。
(1) 多くのKlingen型のEisenstein級数とカスプ形式の間に、素数pを法とした合同関係があることが分かった。これはRamanujanによって発見された一変数の場合の合同式の、n次のSiegelモジュラー形式の場合への拡張としても捉えることが出来る。したがって、以下Ramanujan型の合同式と呼ぶ。この研究では上記Ramanujan型の合同式を得るための素数pに関する規準も得られた。すなわち、あるゼータ関数の特殊値をpが割れば、上記のRamanujan型の合同式が得られることが分かった。
(2) 様々なタイプのL関数のpによる非可除性への応用を念頭に、Siegelモジュラー形式のFourier係数がどの程度法pで消えていれば、全てのFourier係数が消えるのか、その境界(Sturm型の境界)を具体的に与えることが目標であった。pが5以上の場合は既に解決済みであったが、pが2,3の場合は課題として残されていた。本研究では、この課題に解決を与えた。
尚、(1)の結果は竹森翔氏との共同研究によって得られた成果である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
解析的手法や代数的組合せ論的手法に関する新たな知識を修得するのに時間を要したことが大きな理由である。
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| 今後の研究の推進方策 |
モジュラー形式の合同、特にmod p特異モジュラー形式のなすベクトル空間の生成元やそれらの間の関係式などを明らかにする。まずは、数値実験と理論的考察の両面から、現在分かっているもの以外の具体例の構成を図る。これにはKlingen型のEisenstein級数やテータ級数を用いる。同時にテータ作用素の核とmod p特異モジュラー形式の関連についても調べ、mod p特異モジュラー形式のなすベクトル空間の様子を理解する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
最も大きなの理由は、当初購入予定であった幾つかの計算機ソフトを購入する必要が無くなったことである。これは、立命館大学が所有するMathematicaのライセンスが借用でき、さらにはオープンソースのソフトであるsageを利用して、当初購入予定であった数式処理ソフトの代役を立てることができたためである。
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| 次年度使用額の使用計画 |
研究機関異動のため、数値実験用のコンピューターを新規に購入し研究設備を整える必要がある。また情報収集を目的として、専門図書の購入、研究集会への参加を行う。
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