| 研究課題/領域番号 |
26800027
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
早野 健太 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (20722606)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 安定写像 / ４次元多様体 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的の一つは４次元多様体から３次元空間への安定写像の臨界値集合およびファイバーに着目することにより、４次元多様体および安定写像自身の図示法を確立することにより、４次元多様体の微分構造の分類手法を確立することであった。
この目的を達成するために、当該年度ではまず４次元多様体から３次元空間への写像として十分一般的にとったとき、その写像自身と、その写像に３次元空間から２次元空間への射影を合成して得られる写像が持つ臨界点について調べる方法を確立した。研究計画を提出した際には、計画に記載されている通りBruce-Kirkの結果を利用する予定であったが、その方法ではホモトピーの分類の際に困難が生じることが判明したため、complete transversalと呼ばれる、写像芽の分類を簡素化する手法や、微分同相写像芽のジェットからなる群の冪等部分群を用いた、有限確定性の評価法を、我々の考えている状況に適合するように一般化することにした。
これらの結果の一般化により、４次元多様体から３次元空間への写像とそのホモトピーを統一的に扱うことができるようになった。また研究計画には４次元多様体から３次元空間への写像についてのみ記載されているが、この手法自体は他の次元対にも適用可能であるので、今後は他の次元間の写像にも適用することも視野に入れていく。またこの手法により、ホモトピーにとどまらずより余次元の大きい写像芽の分類も理論上可能になるので、図示法のみではなく、Vassiliev型の不変量の構成も試みる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
研究計画にあるホモトピーの分類手法は確立されたがその後の安定写像の図示法の確立には至っていない。その理由として、３次元空間への安定写像の臨界値集合と、写像自身との関係が想定していた以上に複雑を極めるということがあげられる。たとえば当該年度に得られた写像芽の分類手法を用いることにより、４次元多様体から３次元空間への安定写像の臨界値集合を、平面内のラベルつきグラフで表すことができるということがわかるが、このグラフからさらに安定写像自身を復元できるようにするためには、ファイバーの様子やある種のモノドロミーを付加情報として与える必要がある。また平面内のグラフではなく３次元空間の臨界値集合からもとの安定写像を復元しようとした場合、臨界点集合として現れる曲面の、全空間の４次元多様体における自己交差数を調べる必要に迫られる場合があり、これを図式に付加的な情報として与えるよい手段を考案できずにいる。
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| 今後の研究の推進方策 |
理由の項で述べた通り３次元空間への安定写像を図示するには依然困難が残っているので、その解消を目指したい。例えば一般の安定写像を考えると対応するラベルつきグラフは非常に複雑になり得るので、安定写像をホモトピーで変形して単純化することにより、グラフを扱いやすいものに変形することを考える。そうすることにより前述したファイバーの様子、モノドロミーや自己交差数の情報を加えても十分扱える図示法が得られることが期待できる。また当該年度に得られた手法は他の次元対に対しても適用できるので、３次元空間への写像だけでなく、他の次元の多様体への写像を用いた図示法も考えたい。例えば４次元多様体から複素射影平面への写像のホモトピー類は、定義域の４次元多様体の整係数２次コホモロジー類と対応するので、コホモロジー群の性質を反映する図示法が得られることも期待できる。またより余次元の大きい写像芽の分類も行うことでVassiliev型の不変量の計算も行い、新たな不変量の構成も同時に目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
現在までの達成度の項で述べた通り、研究計画を遂行する際に予期していなかった問題に直面し、研究の進捗が計画よりやや遅れている。そのため成果発表のために学会に参加する必要がなくなり、その結果出張費用として予定されていた予算を使用する必要がなくなったため、この予算を次年度に充てることにした次第である。
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| 次年度使用額の使用計画 |
これまでの研究の成果により、研究計画にある特定の次元間の写像のみならず、他の次元間の写像も同様の方法で解析できるということが判明したので、今後はそのような写像も調べる。そのためには他の研究者とより積極的に交流し、情報交換する必要が生じるので、昨年度使用する予定であった予算をその際の出張費に充てる予定である。また当初の計画通り、今後より具体的な計算を行っていくために、新たにコンピューターを購入する予定であるが、研究計画にはない次元間の写像を扱うためには複雑な計算を行う必要が生じるため、当初予定していたものより性能の高いコンピューターを購入する予定である。
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