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本研究は４次元多様体上の安定写像を介して、４次元多様体の全体像を明らかにしようとするものであった。本年度は近年Gay-Kirbyにより導入されたtrisectionを、安定写像の観点から研究し、その結果安定写像のモノドロミーとtrisectionの図式との関係を明らかにすることができた。
４次元多様体のtrisectionとは、４次元多様体の３つの４次元ハンドル体による分解で、それぞれのハンドル体の境界にHeegaard分解が現れるものである。４次元多様体のtrisectionから３つのHeegaard図式が得られるが(これをtrisectionの図式という)、この図式からtrisection(の分解を保つ微分同相類)が一意に定まるということが知られている。一方でtrisectionは元来不定値の特異点のみを持つ安定写像の研究の過程で現れた概念であり、安定写像の理論と密接に関わっている。
特別なtrisectionとして、Baykur-Saekiは昨年単純なtrisectionを導入し、その具体例もいくつか構成した。単純なtrisectionは対応する安定写像の性質を以て特徴づけられていたが、図式による特徴づけはできていなかった。そこで本研究では写像類群の理論を援用し、trisectionの図式が単純なtrisectionに対応するための必要十分条件を与え、系としていくつかの既存の例が単純になることを示した。また研究代表者により得られていた、安定写像のモノドロミーを解析する技術を応用し、Baykur-Saekiにより構成された単純なtrisectionの図式を与えた。
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