| 研究課題/領域番号 |
26800028
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
古宇田 悠哉 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (20525167)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | Heegaard 分解 / 写像類群 / 円盤複体 / トンネル / 国際情報交換 韓国 |
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| 研究実績の概要 |
任意の閉 3 次元多様体は，ある種数 g の閉曲面により 2 つのハンドル体に分解される．この分解を種数 g の Heegaard 分解と呼ぶ．Heegaard 分解の複雑度は，Hempel 距離と呼ばれる非負整数ではかられる．
種数が 2 未満の Heegaard 分解に対しては，それを許容する 3 次元多様体，およびその分解の構造が完全に解明されている．本研究の目的は，特に Hempel 距離が 0 である種数 2 の Heegaard 分解に対し，その写像類群 (Goeritz 群) の有限表示を与えることである．このタイプの Heegaard 分解を許容する 3 次元多様体は，3 次元球面，2 次元球面と円周との直積，レンズ空間，およびそれらの連結和（可約な多様体）に限られる．これらのうち，3 次元球面については既に有限表示が知られており，また，昨年度までの S. Cho との共同研究により，2 次元球面と円周との直積，一部のレンズ空間，可約な多様体について，有限表示を与えていた．本年度は残されたレンズ空間に対して，有限表示を与えることに成功し，論文を執筆中である．証明は，円盤複体の構造の精密な分析による．
Heegaard 分解は，3 次元多様体内の特別なハンドル体の理論とみなすことができるが，この視点から，小沢誠氏と共同で 3 次元球面内の 3 次元部分多様体が「結ばれている」ことの必要十分条件を，その部分空間内の結び目の性質により記述した論文を発表した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Hempel 距離が 0 である種数 2 のすべての Heegaard 分解の写像類群について，有限表示を得ることに成功した．
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| 今後の研究の推進方策 |
Hempel 距離が 0 である種数 2 のすべての Heegaard 分解の写像類群について得られた有限表示について，論文にまとめて発表する．
種数 2 の Heegaard 分解を許容する 3 次元多様体には，結び目解消トンネルを許容する結び目のクラスが存在する．Heegaard 分解の写像類群による円盤複体への作用の商は，結び目解消トンネルの同値類を頂点とする単体複体をなす．この構造を解明し，結び目解消トンネルの分類理論の礎を築く．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
中東呼吸器症候群（MERS）の流行により，参加予定であった国際学会のための空路（ソウル経由）が欠航になったため参加を取りやめ，他の国内学会での学会参加による発表・情報収集のための経費に充てたが，未使用額が生じた．
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| 次年度使用額の使用計画 |
未使用額は，次年度の国際学会での発表のための経費に充てたい．
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