| 研究課題/領域番号 |
26800031
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
丹下 基生 筑波大学, 数理物質系, 助教 (70452422)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | スライスリボン予想 / レンズ空間手術 / ホモロジー球面 / コルク / 有理ホモロジー4球体 / スライス結び目 |
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| 研究実績の概要 |
スライスリボン予想に関する論文の執筆を進めた．スライスリボン予想は3次元球面内の結び目で、4次元球体上で円盤を張る結び目（スライス結び目）がリボン結び目という、リボンを3次元球面にはめ込んだものとして実現できるか？という問題である．今年は、任意のスライス円盤から始め、ハンドルの変形とある特殊な正則イソトピーの列によって、ハンドルを単純化し、ホップリンクの形にまで変形できることを示した．これにより、任意のスライス円盤には、あるリボン図式を一般化した図式が付随することがわかった．また、この図式を変形する手法として、Cut&Surgery法と、Slidingが有用であることがわかった．前者は非自明な２次元結び目を取り除く手術であるが、後者は、リボン性を一般には崩す、しかし、そのような操作を最後まで行うことで、全てのハンドルとの共通部分を取り除くことができることがわかった．
トーラス結び目のWhiteheadダブルのスライス性の判定を、その2重分岐被覆のOzsvath-Szaboによる補正項不変量を計算することでを行った．その結果、ある条件下で、２重分岐被覆が有理ホモロジー球体をboundするための必要十分条件を得ることができた．このような結果は、有理ホモロジー球体を作るのが難しいことから興味深い例となる．
コルクの研究を行った．コルクは、４次元多様体の微分構造を変える操作を生み出し、重要な多様体である．位数が3以上のものが見つかっていなかったが、任意の有限位数をもつコルクを作ることに成功した．またその多様体はシュタイン多様体の構造ももつ．また、Gompfの無限位数コルクを応用することで、興味深いコルクの例をつくることができた．
ポアンカレホモロジー球面の結び目のレンズ空間手術で、レンズ空間の中で、単純(1,1)結び目になるものの結び目表示を得た．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
スライスリボン予想に関する研究として、問題であったところが次第に明らかになったことが挙げられる。
補正項不変量と有理ホモロジー４球体boundとの関係性が明らかになった．
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| 今後の研究の推進方策 |
スライスリボン予想に関する問題の詳細をつめる．これにより、スライス結び目とリボン結び目の関係性が非常にわかりやすくなるはずである．そのためには、基本的なハンドルの局所変形により、目的のグラフまで行きつくことができるか？が問題の鍵となる．
Gompfにより無限位数コルクによる洞察はとても興味深い．このアイデアを使って、多くの微分構造を構成する．まずは、非可換群である写像類群全体が忠実に微分構造の変化を反映するか？という問題を考える．また、群の非可換性が微分構造に影響があるかについて研究を進める．
レンズ空間を生み出すホモロジー球面についての計算結果をまとめる、
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| 次年度使用額が生じた理由 |
旅費の使用として計画していた部分において、より安い経路をとるなどして節約をしたため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
来年度の研究会において、招待する研究者の旅費として計画している．
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