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2015 年度 実施状況報告書

線形表現のモジュライ空間と非可換トーション不変量

研究課題

研究課題/領域番号 26800032
研究機関東京工業大学

研究代表者

北山 貴裕  東京工業大学, 理工学研究科, 助教 (10700057)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2018-03-31
キーワード3次元多様体 / 位相不変量 / 表現
研究実績の概要

基本群の線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の非可換トーション不変量の研究の相互発展を図ることを目的として研究を行った.当該年度は,高次元線形表現が導く多様体の分解の追及をテーマとして,主に,高次元線形表現の変形から3次元多様体内の曲面を構成する理論の整備を進め,当理論によって構成される曲面の集合を決定することに取り組んだ.その結果,そのような集合を完全に特徴付けることに成功し,研究分野を大きく発展させることができた.具体的には以下の成果が得られた.
CullerとShalenによって,基本群の複素2次元表現のモジュライ空間である2次元指標多様体の無限遠点から3次元多様体を本質的に分解するような曲面を構成する理論が確立されている.更に,Culler-Shalen理論の高次元線形表現に対する場合への拡張として,研究代表者と原隆氏の共同研究によって,高次元指標多様体の無限遠点からも3次元多様体を本質的に分解するような(分岐を許す)曲面を構成する方法が見出されている.また,古典的な理論においては,分岐を持たない本質的曲面であって,2次元指標多様体の無限遠点からは構成されないものがあることが知られている.研究代表者は,Stefan Friedl氏とMatthias Nagel氏との共同研究において,分岐を持たない全ての本質的曲面はある次元の指標多様体の無限遠点から構成されることを明らかにした.帰結として,研究代表者と原隆氏によるCuller-Shalen理論に関する予想を肯定的に解決した.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当該年度に計画していた,対応する曲面が分岐を持たないための指標多様体の無限遠点に関する十分条件の研究においては,そのような無限遠点を実際に構成する方法を見出すことができ,分岐を持たない本質的曲面が理論によって全て構成されることまで明らかにできた.より精密な十分条件を研究する余地は多分に残されているが,当初の計画とは異なる方向に研究が円滑に進展し,研究分野を大きく発展させる成果を得ることができた.

今後の研究の推進方策

本年度に大きく進展した,高次元線形表現が導く多様体の分解を追及する研究においては,引き続き,レーゲンスブルク大学のStefan Friedl教授と密接な研究打ち合わせを行う予定である.また,本研究のテーマに基づいたセミナーを企画し,研究領域の育成・発展を図る.これまでに得られた成果を講演等により積極的に発信することを心がけ,研究を更に深める.

  • 研究成果

    (9件)

すべて 2016 2015 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件、 謝辞記載あり 2件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 4件、 招待講演 4件) 備考 (1件)

  • [国際共同研究] ケベック大学モントリオール校(カナダ)

    • 国名
      カナダ
    • 外国機関名
      ケベック大学モントリオール校
  • [国際共同研究] レーゲンスブルク大学(ドイツ)

    • 国名
      ドイツ
    • 外国機関名
      レーゲンスブルク大学
  • [雑誌論文] Twisted Alexander polynomials and incompressible surfaces given by ideal points2015

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Sciences, the University of Tokyo

      巻: 22 ページ: 877-891

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Normalization of twisted Alexander invariants2015

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 雑誌名

      International Journal of Mathematics

      巻: 26 ページ: 1550077

    • DOI

      10.1142/S0129167X15500779

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [学会発表] Representation varieties detect essential surfaces2016

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      Branched Coverings, Degenerations, and Related Topics 2016
    • 発表場所
      広島大学
    • 年月日
      2016-03-07
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Representation varieties detect essential surfaces2015

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      Geometry of Moduli Space of Low Dimensional Manifolds
    • 発表場所
      京都大学
    • 年月日
      2015-12-17
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Representation varieties detect essential surfaces I, II2015

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      Topology and Geometry of Low-dimensional Manifolds
    • 発表場所
      奈良女子大学
    • 年月日
      2015-10-29 – 2015-10-30
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Representation varieties detect essential surfaces2015

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      Braids, Configuration Spaces and Quantum Topology
    • 発表場所
      東京大学
    • 年月日
      2015-09-08
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考] 北山研究室ホームページ

    • URL

      http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kitayama/index.html

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公開日: 2017-01-06  

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