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本研究の目的は、トーラス束とそのファイバーに沿ったDirac型作用素の族を用いた指数理論とその局所化理論の深化および応用である。今年度の業績は、具体例への応用が掲載決定したことと無限次元の状況への一般化の方向性を探ったことである。
業績のひとつめは、昨年度までに改訂を進めていたトーリックorigami多様体に対するDanilov型定理の指数の局所化を用いた証明の論文が掲載決定したことである。本研究で用いる手法の非自明な適用例として意義のある成果である。また、本研究における成果の一つである非コンパクトなシンプレクティック多様体へのHamiltonianな円周の作用に関するある種の同変指数に関して、京都大学の高田土満氏が構成したループ群作用をもつ無限次元多様体の同変指数理論との関わりを考察した。具体的な成果は得られていないが、高田氏の枠組みに摂動による局所化の観点を導入するには、高田氏の構成で局所コンパクトパートとよばれる部分に相当する我々の有限次元の場合の結果をKK理論的な枠組みで理解することが重要であるとの理解に至り、次年度以降も考察を続けていく。トーリック多様体に付随するDelzant多面体に関して以下の結果も得た。Pelayo-Pires-Ratiu-Sabatiniらは、Delzant多面体の集合上に対称差の体積を用いて距離関数を導入した。この結果をうけて、本学大学院生の大橋佳歩氏との共同研究で、Delzant多面体の整アフィン変換群に関するモジュライ空間上の距離関数の構成を構成しその結果を論文としてまとめた。
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