| 研究課題/領域番号 |
26800046
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| 研究機関 | 名城大学 |
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研究代表者 |
長郷 文和 名城大学, 理工学部, 准教授 (30513634)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 結び目群 / 指標多様体 / ノットコンタクトホモロジー / 幽霊指標 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では,ノットコンタクトホモロジーの表現論的解析を行うことを大きな目標として，特に，結び目Kのトレースフリー断面S(K)と3次元球面の結び目に沿って分岐する2重分岐被覆の指標多様体X(ΣK)との関係について，Ng予想の完全解決を目指している．本年度は，Ng予想の反例を生成する候補として研究代表者によって導入された「結び目の幽霊指標」について集中的に研究を行った．
まず，前年度の計算機実験により発見していた2つの結び目の幽霊指標について，代数幾何的手法を用いて，その存在を実際に確認することができたが，存在が確認できた幽霊指標について，1つの結び目の幽霊指標は，残念ながらNg予想の反例を生成するものではないことがわかった．しかし，この幽霊指標は，研究代表者と秋田大学の山口祥司氏が構成したS(K)からX(ΣK)への写像の全射性を破る初めての例を示す貴重なものであることが，名城大学の鈴木心之助君との共同研究でわかった．この成果については，9月に長崎県対馬市で開催された国際集会等で鈴木君と共に報告を行った．この集会での活発な議論がきっかけとなり，もう1つの結び目の幽霊指標については，Ng予想の反例を生成するものであることが，鈴木君との共同研究でわかった．上記の成果については，10月の秋田での集会，11月の広島，2月の東京での国際集会等で報告し，活発な意見交換ができた．現在，上記の研究成果について，論文にまとめているところである．
尚，前年度よりテキサス大学ダラス校のAnh T. Tran氏，明治大学の鈴木正明氏と行っていた「結び目の極小元」に関する応用研究の成果をまとめた論文が，International Journal of Mathematicsに掲載されることが決定した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度の目標に掲げていた，Ng予想ならびに幽霊指標についての研究手法の開発とその深化について，十分な成果をあげることができた．また，次の研究ステージへの足掛かりとなる考察等も進んでいるため「概ね順調に進展している」と判断できる．
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| 今後の研究の推進方策 |
「研究実績の概要」にも記載したように，Ng予想は一般には成り立たないことがわかった．ただし，現時点で見つかっている幽霊指標は，全て非双曲結び目に対するものであるため，Ng予想が双曲結び目で成り立つかどうかについては不明である．この意味でNg予想は未だ重要な意味を持っていると考えられる．次年度は，この視点からNg予想と幽霊指標について，計算機を駆使しながら研究の深化を試みたい．また，この検証で得られたデータを参考にして，研究の方向性を見極めたい．
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