| 研究課題/領域番号 |
26800055
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| 研究機関 | 信州大学 |
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研究代表者 |
松澤 泰道 信州大学, 学術研究院教育学系, 助教 (60645620)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | ワイル・フォンノイマン同値関係 / 自己共役作用素 / ハイパー群 |
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| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続き，ワイル・フォンノイマン同値関係について研究を行った．ヒルベルト空間上の２つの（一般には非有界な）自己共役作用素がワイル・フォンノイマン同値であるとは，それらがユニタリ変換とコンパクト摂動で移りあえるときにいう．すなわち，ヒルベルト空間上のユニタリ作用素全体の作る群と，コンパクト自己共役作用素全体の作る加法群の半直積群による軌道同値関係のことである．
昨年度はワイル・フォンノイマン同値関係が可算構造で分類できないことを証明した．有界な自己共役作用素たちに制限してワイル・フォンノイマン同値関係を考えると，本質的スペクトルが完全不変量になっていることと対照的である．今年度は自己共役作用素の本質的スペクトルに注目し，どのような本質的スペクトルであれば，その一致からワイル・フォンノイマン同値が従うか考察した．
他の研究にも進展が見られた．その副産物として，位数５までの有限ハイパー群の構造（の一部）が明らかになった．有限ハイパー群とは，有限群の積構造に確率的な広がりを持たせた数学的対象である．有限群の拡張になっている．位数３までは完全に分類されていたものの，位数４以降の有限ハイパー群の構造決定問題は未解決のまま残っていた．この問題を可換性・非可換性に注目して研究した．結果として，位数５で初めて非可換な有限ハイパー群が現れることが分かった．群の場合，非可換なものは位数６で初めて現れる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年度から継続して研究している，ワイル・フォンノイマン同値関係の複雑さについて，より深い理解が得られたため．また，研究の副産物として，非可換なハイパー群が現れる最小位数を決定できたため．「研究実績の概要」には記していないが，時間作用素の研究についても少々進展が見られたため．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度はポパの埋め込み問題について研究を進めたい．目標はは反例の構成である．すでに反例の候補は構成できているので，あとは実際に反例になっていることを証明したい．既存の方法では証明できないため，何らかの新しい方法を発見しなければならない．無限次元ユニタリ群と時間作用素についても研究を進める予定である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初予定していた海外の共同研究者への訪問を２８年度に延期したため．
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| 次年度使用額の使用計画 |
２８年度請求額と合わせて，海外の共同研究者と議論するための渡航費用として用いる．
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