| 研究課題/領域番号 |
26800057
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
足立 真訓 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 博士研究員 (30708392)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | レビ平坦曲面 / 複素解析幾何 / 葉層構造論 / 多変数関数論 / 微分幾何学 / 多重劣調和関数 / 曲率 / 国際情報交換 |
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| 研究実績の概要 |
多変数関数論における重要な未解決問題に、Cerveau予想および一般化されたLevi問題がある。いずれもLevi平坦境界の領域上の解析に関わる点に主要な問題があるが、多変数関数論の既存理論は、強擬凸領域上の解析を踏まえ発展してきており、これらの問題に直ちには適用できない。我々は、Levi平坦境界の領域を「0次の」強擬凸性が退化した領域とみなし、その許容する「高次の」強擬凸性を定式化することで、この困難を克服しようと試みている。
平成26年度は、Levi平坦境界の領域において1次の強擬凸性を定式化すると考えられるDiederich-Fornaess指数（DF指数）に関連して、2つの研究成果を得た。
(1) DF指数自身は領域に対して定義される量であるが、Levi平坦境界の領域においてはその境界の1次の情報のみによって定まる（足立, 2015）。この定式化を用い、既知の弱擬凸領域に対するDF指数の大域評価（Fu-Shaw, to appear; 足立-Brinkschulte, to appear）が、抽象的なLevi平坦CR多様体に対しても成立することを示した。本研究結果は、ICM Seoul 2014のサテライト集会KSCV10の論文集への掲載が決定している。
(2) Cerveau予想は複素射影平面内の滑らかなLevi平坦面の非存在を予想する。既知の結果として、仮にそのようなLevi平坦面が存在した場合、その総実Ricci曲率が制約を受けることが知られていた（Bejancu-Deshmukh, 1996）。前述のDF指数の境界の1次の情報による表示に着目することで、我々はこの制約条件を実質的に改善した。本研究は、Leipzig大学のBrinkschulte氏との共同研究であり、学術雑誌Annales de l'Institut Fourierへの研究結果の掲載が決定している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
DF指数に関して、我々の定式化を支持する2つの研究成果が当初計画よりも早い段階で得られた点は、当初計画以上の進展だといえる。高次の強擬凸性の定式化については、当初計画よりも遅れている。ただし、DF指数の研究の進展に伴い、多変数関数論の他の重要問題であるdbar-Neumann問題、Levi平坦多様体の小平型埋め込み写像の可微分性の問題と、本研究の関係に示唆が得られ、当初計画よりも多角的なアプローチの試行が可能になった点は、高次の強擬凸性の定式化に向けた進展だといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの仮説・研究計画の下、既知の滑らかなLevi平坦面に対する事例研究を中心として、1次の強擬凸性を定式化すると考えられるDF指数の評価手法の研究、また高次の擬凸性の定式化の研究を継続する。平成26年度に得られた知見に基づき、事例研究の対象にHartogs三角形やDiederich-Fornaessのワーム領域を加え、またLevi平坦多様体の小平型埋め込み写像の可微分性の解析も行うことにより、高次の強擬凸性の定式化の研究を進めたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
平成27年2月に名古屋大学において研究集会「Analytical aspects of the dbar equation」を開催し、関連する研究者を国外より招聘し、DF指数に関係する研究の動向について討議を行った。研究集会の当初計画時点での招聘者リストを元に予算を作成したが、来日が叶わなかった研究者がおり、招聘者リストに異同が生じたため、残金が発生した。
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| 次年度使用額の使用計画 |
上述の研究集会に参加できなかった研究者と討議を行うため、先方を訪問する、あるいは再度招聘を行うために使用したい。
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