| 研究課題/領域番号 |
26800057
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
足立 真訓 東京理科大学, 理工学部数学科, 助教 (30708392)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | レビ平坦曲面 / 複素解析幾何 / 葉層構造論 / 多変数関数論 / ポテンシャル論 / エルゴード理論 / 超幾何関数 / 国際情報交換 |
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| 研究実績の概要 |
多変数関数論における重要な未解決問題に、Cerveau予想および一般化されたLevi問題がある。いずれもLevi平坦境界の領域上の解析に関わる点に主要な問題があるが、多変数関数論の既存理論は、強擬凸領域上の解析を踏まえ発展してきており、これらの問題に直ちには適用できない。我々は、Levi平坦境界の領域を「0次」の強擬凸性が退化した領域とみなし、その許容する「高次の」強擬凸性を定式化することで、この困難を克服しようと試みている。
我々は、平成27年度までの研究において、Levi平坦境界の領域において1次の強擬凸性を定式化すると考えられるDiederich-Fornaess指数 (DF指数) について、基礎的な制約不等式を得た。そして、閉Riemann面上の特別な正則円板束 (Levi平坦境界の領域である) において、制約不等式の等号が0.5で成立すること、またその事実を根拠としてHardy空間が1次元に退化することを示した。平成28年度に得られた主要な研究成果は、この正則円板束において、-1より大な全ての重みに対し、重み付きBergman空間が無限次元となることを示した点である。多変数関数論の既存手法では（DF指数に対応して）-0.5より大な重みに対する無限次元性しかわからない。一方、平成27年度の研究成果により、重み-1に相当するHardy空間の有限次元性が判明していた。そこで重みが-0.5から-1の間の有限・無限次元性に取り組み、無限次元であるという結論を得た。これらの研究成果は、論文「Weighted Bergman spaces of domains with Levi-flat boundary: geodesic segments on compact Riemann surfaces」として、学術雑誌へ投稿するとともに、プレプリントサーバにおいて公開中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
上述の無限次元性定理は、構成的に証明される。その副産物として、重み付きBergman空間に属する関数の近似公式が一般化超幾何関数を含む形で得られた。この結果は、Levi平坦境界の領域の解析と保形形式論、特殊関数論、エルゴード理論との関わりを示唆する。他の研究領域との繋がりまで見出されたことは研究開始当初予想していなかった進展であった。以上は、DF指数に関わる1次の強擬凸性に関する進捗状況であり、当初の計画以上に進展している。高次の強擬凸性に関しては、他の研究グループがワーム領域のDF指数を決定する、上田理論の精密化をする、といった成果を出しており、それらの仕事のフォローに努めるのに留まっており、やや遅れている。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの仮説・研究計画の下、既知のLevi平坦境界の領域に対する事例研究を継続する。特に平成28年度に得られた特別な正則円板束に対する構成的な解析手法を足がかりとして、他の正則円板束の重み付きBergman空間を解析できる一般論の構築を目指す。また、Levi平坦面の剛性問題の研究を継続し、高次の強擬凸性の定式化の研究を進める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
国外出張に関して、現地滞在費の援助が先方から得られたため、使用計画よりも余裕が生じ残額が発生した。
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| 次年度使用額の使用計画 |
平成28年度に生じた旅費の残額を、平成29年度の旅費・特に招聘旅費にあて、研究を一層推進したい。
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