| 研究課題/領域番号 |
26800063
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| 研究機関 | 東京学芸大学 |
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研究代表者 |
高橋 弘 東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (30413826)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | ランダム媒質 / 自己相似確率過程 / エルゴード性 / 極限定理 / 従属性を持つ確率変数 |
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| 研究実績の概要 |
ランダム媒質中の拡散過程は，媒質の持つランダムネスと媒質が固定されその中を動く拡散過程が持つランダムネスとの２重のランダムネスが存在する。平成28年度は，ランダム媒質中の多次元拡散過程に関する以下の問題を考察した。
(1) ランダム媒質のモデルが確率場として与えられるときの多次元拡散過程の特徴づけ (2) ランダム媒質のモデルが共通の１次元確率過程で与えられ，その中をｄ個の独立な１次元ブラウン運動が動く多次元拡散過程の極限分布の表現について (3) 従属性を持つランダム媒質中の多次元拡散過程の漸近挙動について
(1)については，自己相似性を持つ確率場の持つ性質を調べることで，ガウス場の場合で得られた多次元拡散過程の再帰性・非再帰性を判定する条件を，自己相似性やエルゴード性を仮定する，ガウス場よりも一般的な場合で与えることを目的としている。確率場の性質をランダム媒質のランダムネスの解析に応用し，その結果をランダム媒質中の拡散過程へ応用する試みは，新規性があると考えられる。(2)については，１次元のランダム媒質中の拡散過程で知られている強い局在現象が多次元の場合についても定式化することを目的としている。この問題は，固定された拡散過程の漸近挙動を調べるために拡散過程に対応するディリクレ形式を考察することになる。(3)については，従属性を持つランダム媒質の影響を受ける拡散過程に関する極限定理について，その収束の速さを媒質がない場合と比較し，その違いからランダム媒質中の拡散過程の特徴付けをすることを目的としている。
また，投稿していた論文について，査読者からの助言に応じて，議論の簡素化するための研究も行い，複数の論文が学術雑誌へ掲載された。
さらに，海外で，本研究に関する講演を３件行い，そのうち１件の会議で発行されるプロシーディングスに(3)に関する結果を投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究計画に則った研究活動を行い，幾つかの課題について新たな知見が得られた。(1)の問題については，エルゴード性・自己相似性を持つ確率場について，その性質を調べることによって，ランダム媒質中の拡散過程の再帰性・非再帰性について，ランダム媒質の条件として与える手掛かりが得られた。現段階では特殊な確率場について考察しているが，引き続き研究を続けることで，一般的な確率場へと拡張できることが期待される。また，(2)の問題については，当初の予想よりも状況が簡単ではないことが判明した。具体的には，極限定理としての定式化をどのようにするかという点が難航している。その一方で，周辺の問題は解決しているものもあるので，引き続き研究を進めていく。(3)の問題については，従属性を持つランダム媒質中の拡散過程の具体例と収束の速さについて結果を得た。また，今後の研究への道筋を付けることができた。
以上の理由から，上記の自己評価を与える。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成２９年度は，引き続き，劣拡散的なランダム媒質中の多次元拡散過程の極限定理についての研究を進める。多次元の確率過程と確率場に関して，その性質を調べることで，多次元拡散過程の極限定理を示すことを目指す。当初想定しなかった展開があれば，本研究の方向性について柔軟な対応をとることで，研究遂行に支障をきたさないよう努める．
また，昨年度に着手できなかった，弱い従属性を持つ確率過程をランダム媒質とする場合の研究について考察する。まずは１次元の場合を調べ，その成果が確率場のような多次元の場合へと拡張できるかどうかについても研究を進める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度は，旅費の部分で当初参加予定だった研究集会への参加が都合により不可能となった。そのため，次年度への繰り越しが生じた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
次年度は繰り越し分と合わせ，当初の計画通り旅費，計算機，図書等の消耗品など，計画している研究の遂行に使用する予定である。
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