| 研究課題/領域番号 |
26800074
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| 研究機関 | 津田塾大学 |
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研究代表者 |
菊池 弘明 津田塾大学, 学芸学部, 准教授 (00612277)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 一般化リュウビル・ゲルファント問題 / 特異解 / モース指数 / 非線形シュレディンガー方程式 / 大域挙動 / 基底状態 / エネルギー臨界 / 質量臨界 |
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| 研究実績の概要 |
今年度は行ったことは主に２つある。一つ目は、Juncheng Wei氏(ブリティッシュ・コロンビア大)との共同研究の下、一般化リュウビル・ゲルファント問題の正値解の多重性について考察した。これまでの研究により、空間3次元以上については解の多重性は分かっていたが、今年度は空間2次元について解析した。2次元の場合は、3次元以上の場合とは異なり、非線形項の指数により、解の多重性が異なることが知られており、興味深い問題だと思われる。
数値計算によれば、ある条件の下において、正値解は無限個存在することが予想されている。このことを厳密に示すのに、それまで構成した特異解のモース指数を計算することを試みた。そして明らかになったことは、非線形項の指数が2より大きければ、特異解のモース指数が無限大となることである。そして、前述の目標を達成するためには、特異解と正則解の関係を調べれば、十分であることが分かった。
2つ目は、赤堀公史氏(静岡大)、Slim Ibrahim氏(ビクトリア大), 名和範人氏(明治大)との共同研究の下、非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動について研究した。これまでは、エネルギー臨界を含む二重冪を非線形項をもつシュレディンガー方程式について考え、振動数の小さい基底状態のまわりでの解の挙動について調べてきた。今年度は、質量臨界とエネルギー臨界の2つの臨界べきを非線形項にもつ方程式について考えた。このときについては、振動数が小さいときにおける基底状態の漸近形を詳細に調べることでスペクトル解析することが出来、前年と同様の結果を得られる見通しをつけることが出来た。さらには、振動数が大きい場合について考察した。このときは、基底状態が一意性を示すことがせれば、振動数が小さい場合と同様の結果が得られることも分かった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
空間2次元の一般化リュウビル・ゲルファント問題の解の多重性については、既に特異解のモース指数が無限大であることが証明することが出来たので、特異解と正則解の関係を調べればよいことが分かった。これを具体的には示すには、特異解の一意性が得られれば良い。楕円型方程式の特異解の一意性については既に類似の結果が知られているので、それらの手法が適用できるのではないかと考えている。
さらに関連した問題で、反応拡散方程式に関連するある楕円型方程式についても考察した。これについても正値解が無数に存在することが予想されている。これまで、このことを示すのに重要な役割を果たすと思われる遠方で遅く減衰する解の構成することも示せたの。この特殊な解を用いて、多重性が得られないかを解析する予定である。
非線形シュレディンガー方程式の大域挙動について、前年度の小さい振動数をもつ基底状態のまわりの解の大域挙動に続き、今年度は、大きい振動数をもつ基底状態のまわりの解について考察し、線形化作用素のスペクトル解析など示さなければならない主要な部分は既に解析できた。残りは基底状態が一意性を示すことが出来ればよく、このことは摂動法を用いることで証明できるのではないかと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
一般化リュウビル・ゲルファント問題については、特異解の一意性を示せば、目標は達成される。このことは既に他の楕円型方程式の特異解については知られているので、その手法が適用できないかを試みたい。
また、反応拡散方程式に関連する楕円型方程式の解の多重性においても、鍵となる遠方で遅く減衰する解を構成することが出来た。この解は、一般化リュウビル・ゲルファント問題の特異解に対応するのではないかと考えており、これまで用いてきた手法が適用出来るのではないかと思われるので、これについても解析したい。
非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動に関しては、大きい振動数をもつ基底状態が一意であれば、そのまわりの解の挙動に関しても調べることが出来る。ここで考える基底状態は、振動数を無限大に近づくとき、タレンティ関数というよく性質が分かっている関数に収束することが分かっており、これを用いれば、一意性が得られるのでは無いかと考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2016年7月にフロリダで行われる研究集会に参加することが決定したため、平成28年度は科研費の予算を超過する見込みである。そのため、平成27年度はそれを補うために科研費の使用を控える必要があった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
2016年度7月に行われる研究集会に参加し、講演と非線形分散型方程式の最近の研究についての情報収集をするため。
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