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2014 年度 実施状況報告書

ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の数値解析とその展開

研究課題

研究課題/領域番号 26800079
研究機関東京工業大学

研究代表者

中野 張  東京工業大学, 大学院イノベーションマネジメント研究科, 准教授 (00452409)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2017-03-31
キーワードハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式 / 確率制御
研究実績の概要

ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式を含む一般の非線形放物型偏微分方程式に対し、メッシュフリー補間法による数値解法の開発・研究を行った。既存研究では、線形の場合や1階のハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の場合に数値解法を導出し、数値的にのみ収束を確認していたが、本研究では、より一般の場合に適用可能なメッシュフリー補間法を導出し、数学的に厳密に収束を証明した。より詳細には、方程式が非線形放物型方程式の場合には解の滑らかさが期待できないこともあり、厳密な収束証明が試みられることもなかったが、本研究は一般の非線形放物型偏微分方程式に対するゲーム論的接近に着目し、非線形項の近似的なsup-inf表現を求めることにより、粘性解の枠組みでの証明を実現したものである。以上の成果を一編の論文としてまとめ、現在学術雑誌に投稿中である。

本研究で示した定理は、非線形放物型偏微分方程式に対するメッシュフリー補間法の収束を証明した初めてのものであり、この文脈における数学的基礎を与えるものと位置づけられる。このことにより、ファイナンスにおける最適化問題やロボット等の確率制御問題に対してメッシュフリー補間法を用いることの数学的妥当性が担保されることになる。また、本研究の成果により、これらの応用分野においてメッシュフリー補間法の使用が喚起され、この手法が持つ実装の容易さや高次元問題への適用のしやすさ等の利点を活かした実際的な研究開発の促進が期待できる。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

交付申請書において、本年度は非線形放物型偏微分方程式に対して、申請者の提案する数値解法の収束証明を目的としていた。「研究実績の概要」で述べたように、本年度の研究ではこの収束証明を実現しており、目的を十分達成したと評価できる。

今後の研究の推進方策

本年度の成果により、決定論的な偏微分方程式(PDE)に対するメッシュフリー法の収束証明のための技術が確立されたといえる。今後は、この技術を応用して、楕円型のハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式や擬変分不等式など、確率制御問題に付随する非線形PDEに対してメッシュフリー法を適用し、収束証明を試みる。
また、フィルタリング問題において現れるZakai方程式などの確率偏微分方程式(SPDE)に対してもメッシュフリー法を適用する。SPDEについてはメッシュフリー法の先行研究が無く、適用・収束証明ともに初めての試みとなる。決定論的PDEとは異なり、SPDEについては粘性解の概念が十分整備されてはいないので、まずは、ソボレフ空間の理論と解の滑らかさを利用して収束証明のための研究を進める。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2015 2014 その他

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件、 謝辞記載あり 2件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (2件) (うち招待講演 1件) 図書 (1件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Quasi-Monte Carlo methods for Choquet integrals2015

    • 著者名/発表者名
      Yumiharu Nakano
    • 雑誌名

      Journal of Computational and Applied Mathematics

      巻: 未定 ページ: 印刷中

    • DOI

      10.1016/j.cam.2015.03.026

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] On historical value-at-risk under distribution uncertainty2015

    • 著者名/発表者名
      Atsushi Iizuka and Yumiharu Nakano
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Finance

      巻: 未定 ページ: 印刷中

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] An approximation scheme for stochastic controls in continuous time2014

    • 著者名/発表者名
      Yumiharu Nakano
    • 雑誌名

      Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics

      巻: 31 ページ: 681-696

    • DOI

      10.1007/s13160-014-0157-1

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [学会発表] 非線形放物型PDEに対するメッシュフリー法の収束について2014

    • 著者名/発表者名
      中野張
    • 学会等名
      数理ファイナンスセミナー
    • 発表場所
      慶應義塾大学
    • 年月日
      2014-11-07 – 2014-11-07
    • 招待講演
  • [学会発表] 非線形放物型PDEに対するメッシュフリー法の収束について2014

    • 著者名/発表者名
      中野張
    • 学会等名
      2014年度日本応用数理学会
    • 発表場所
      政策研究大学院大学
    • 年月日
      2014-09-05 – 2014-09-05
  • [図書] ファイナンスと保険の数理2014

    • 著者名/発表者名
      井上昭彦,中野張,福田敬
    • 総ページ数
      506
    • 出版者
      岩波書店
  • [備考] T2R2東京工業大学リサーチリポジトリ

    • URL

      http://t2r2.star.titech.ac.jp/cgi-bin/researcherpublicationlist.cgi?lv=en&q_researcher_content_number=CTT100565300&alldisp=1&tab_yf=2015

URL: 

公開日: 2016-06-01  

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