| 研究課題/領域番号 |
26800205
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
橋爪 洋一郎 東京理科大学, 理学部, 助教 (50711610)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 熱場ダイナミクス / 情報統計力学 / 量子アニーリング / 幾何学的統計力学 |
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| 研究実績の概要 |
本申請課題では，系の密度行列の持つ幾何学的な側面に注目して，平衡系を中心とした統計力学への一般的な応用を確立し，相図などのグローバルな幾何学的性質を明らかにすることを目的として研究を遂行している．平衡系の統計力学は，物質科学を中心として非常に有効だが，一般に分配関数におけるトレースの演算は非常に難しいことが多い．この問題に対して，幾何学的な視点から一般的に議論できる有効な理論を構築する必要がある．具体的には統計力学的関数と幾何学的な量との関係を明らかにし，統計力学への幾何学的アプローチを体系付け，物性物理学への応用を可能にすることを目的とした研究である．これらの研究を通して，伝統的な方法ではアプローチの難しい問題に取り組む1つの新しい視点が提供できると期待できる．
以上のような目的の達成に向けて，本年度は相転移現象に関連した統計力学的関数の振る舞いと幾何学量の関係を明らかにすることを目指した．相転移現象を含む平衡系へのアプローチとしては，強磁性体イジング模型やスピングラスの平均場理論および1次元量子系の様子を調べることを進めている．また，当初の計画では平衡系を中心に議論する予定であったが，熱場ダイナミクスによる非平衡系の議論が進められたことや，量子アニーリングと呼ばれる量子計算の一種を用いて情報行列のスケール因子を特定する方法（特異値分解）が明らかにされつつあることを踏まえ，非平衡系への拡張も視野に入れることが可能になりつつある．
幾何学量と物理量の関連については未だ明らかになっていないが，本年度の研究は，次年度以降に幾何学的な扱いを本格化させるための準備段階としての意義があると考えている．さらに，量子アニーリングによる分散共分散行列の解析が示す意味についても重要な検討課題であると考えられる．これらを踏まえることで今後の幾何学量による表現について検討を進めることができる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
研究計画の段階では，本年度の研究範囲を平衡系の相転移現象に限定することで，具体的な密度行列から得られる幾何学量を詳細に調べることを計画していた．しかし，この計画を遂行する過程において，熱場ダイナミクスを用いた熱浴の表現や，量子アニーリングを用いた分散共分散行列の特異値分解が可能であることなどが明らかになり，非平衡系における時間発展も考慮の対象とするべきであることが徐々に分かってきた．そのため，幾何学量に換算し，物理量とどのような関係にあるのかを明らかにすることがやや遅れてしまっている．特に問題となるのは，幾何学量への換算において重要となる，計量テンソルの定義において，物理的に意味のある座標軸が何か，という点である．現時点では，少なくとも平衡系においては温度を変数に取るべきであるという点は分かってきている．一方，その他の変数については，相関長を取るべきであることがAdS/CFT対応の観点からは示唆されているが，多体系の問題において相関長を決定するであろう外場や相互作用の大きさなどを取り入れる場合には，物理的な意味が明らかでない計量となる．この問題を解決することが本課題達成へ向けた重要な問題である．
また，本研究課題のテーマはこれまでによく知られている枠組み，すなわち一般相対論，情報幾何学，および統計力学の関連性を調べるものではあるものの，これら全体に深く関連した研究者は少なく，議論の推進に困難があったことも否めない．一方で，この1年間を通して幾何学的な統計力学の可能性は少しずつ理解され始めており，幾何学的性質の追求に向かうことができるようになってきたと期待できる．この状況を活用すれば，より強力に研究を遂行することができるようになるだろう．
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度の研究を通して，具体的に探求しなければならない系についてはかなり明らかになってきたといえる．すなわち，量子相転移を示す系や熱浴による散逸を含む系である．今後は，一般的な幾何学的統計力学の構築に向けて，それらの具体的な系の幾何学量を求め，比較検討することを推進する．特に1次元量子系の相転移について，温度と量子効果を変数とすることがどの程度必然的なものか，相関長による表現は必要なのかについて明らかにしていきたい．1次元量子系として典型的なものは横磁場イジング模型であるが，この模型の詳細については厳密解が知られている．しかし，やや複雑な積分を含む形式で与えられており，計量テンソルを密度行列によって定義する場合には困難が伴う．この困難は主として解析的に扱おうとすることに起因しており，本質的でない部分については数値計算などを併用することも視野に入れている．このような研究を通して，横磁場や相関関数が計量テンソルに対してどのように作用するかを明らかにして行く．特に，転移点の前後においては曲率が変化することが期待されていて，熱力学的な議論も進展してきている．この場合には，揺らぎが発散する様子は熱容量の発散として現れていて，相関関数による議論ではないが，横磁場や相関関数による表現との対応を調べることでも理解できるはずである．
また，これまでの研究で明らかになった，確率的でない変数をどのように選択するかという問題についても，熱力学的な議論から，少なくとも温度が選択されるべきであることは，ほとんど明確になってきた．このことを踏まえて，27年度には28年度に統計力学への幾何学的アプローチを体系付けるための足がかりを確立していく．さらに27年度中には時間発展についても取り入れられるような枠組みまで進展させることで，28年度の研究を円滑に進めることができるだろう．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本年度計上していた直接経費のうち，国内学会や国際会議への参加に関連した旅費等については，計画通りの使用となった．具体的には物理学会や国際会議ICNAAM2014への参加である．一方で，謝金および物品費についての使用額が見込みよりも少なく，次年度使用額が生じた．
謝金については，研究課題の遂行に関連する研究に従事する研究者らに講演を依頼したが，日程の調整などで，謝金を支払う形式での議論を実施することができなかった．そのため，謝金に関して計上した直接経費は未使用であり，次年度使用額となった．また，物品費については，本年度の課題遂行において，当初予定していなかった非平衡系の議論や，量子アニーリングを用いた特異値分解についての検討を行うことでより発展的に，時間発展を考えた幾何学的統計力学のアプローチが可能になることが分かったが，既に所蔵している資料で対応可能であったため一部が次年度使用額となった．
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| 次年度使用額の使用計画 |
謝金については，本年度の反省を踏まえて減少させ，当初の予定の半分の計上とした．一方で，物品費については，今後の進展においては幾何学や情報理論の関連での領域へと踏み込むことになるため，既に所蔵している資料に加えて，資料としての図書が必要となる．そこで，物品費については当初の計画通りの計上とする．
また，本年度の成果発表に関連して遠方の研究者ら（具体的には京都大学や東北大学）からの研究協力が得られることになったため，研究発表の機会が増加すると考えられる．そのため，学会参加費などに多くを計上した．
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